Закон средних величин

Понятие средних величин, их виды и условия применения.

Виды абсолютных величин их значение и способы получения

виды абсолютных величин, их значение, способы получения, единицы измерения и их выбор в зависимости от сущности изучаемого явления.
Результат статистического наблюдения и сводки выражаются в абсолютных величинах. Абсолютные величины характеризуют размеры, уровни, объемы обществ явлений.
К абсолютным величинам относят:
1. Количество предприятий;
2. Количество и стоимость выработки продукции;
3. Объёмы ВВП;
4. Фонд З/П;
5. Численность рабочих.
Абсолютные величины всегда являются именованными числами, которые характеризуют размеры общественных явлений в присущих им единицах измерения. Эти единицы измерения м.б. натуральные (кг,м,л), условно натуральные (тыс,шт). Абсолютные величины могут иметь стоимостное выражение или быть в трудоизмерителях (человекочас).
При расчете некоторых абсолютных статистических величин применяют пересчет в другие единицы измерения (например, условно-натуральные, стоимостные). Применяют такой расчет объема признака по данным о его среднем значении и численности совокупности (средний вес или количество привезенных на базар мешков картофеля позволяет оценить объем привезенного картофеля на продажу).

Во всех случаях абсолютные статистические величины определенные признаки массовых явлений.
С учетом этого нередко абсолютные величины делятся на индивидуальные и общие.
Индивидуальные абсолютные величины выражают размеры количественных признаков отдельных единиц изучаемой массовых явлений. Эти величины записываются в первичные учетные документы (формы статистической отчетности), в переписные листы, и др. бланки обследования. На основе индивидуальных абсолютных величин группируются и сводятся первичные материалы статистических наблюдений и сроятся вариационные ряды.
Общие абсолютные величины получаются в результате суммирования значений индивидуальных абсолютных величин и являются статистическими показателями.

Формы выражения и виды относительных величин

Относительные статистические величины — это показатели, которые дают числовую меру соотношения двух сопоставляемых между собой величин.

Основное условие правильного расчета относительных величин — сопоставимость сравниваемых величин и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями.

Относительная величина = сравниваемая величина / базис

Величина, находящаяся в числителе соотношения, называется текущей или сравниваемой.

Величина, находящаяся в знаменателе соотношения, называется основанием или базой сравнения.

По способу получения относительные величины — это всегда всегда величины производные (вторичные).

Различают следующие виды относительных статистических величин:

Относительная величина динамики

Относительная величина планового задания

Относительная величина выполнения плана

Относительная величина структуры

Относительная величина координации

Относительная величина интенсивности

Относительная величина сравнения

Область практического применения относительных величин в изучении экономических явлений

Понятие средних величин, их виды и условия применения.

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения вызванные основным фактором.

Виды средних величин

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Структурные средние:

Мода

Медиана

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

16. Методика расчёта средней арифметической и области ее применения

Средняя арифметическая — самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая — это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Формула средней арифметической (простой) имеет вид

(5.2)

где n — численность совокупности.

При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид

(5.3)

Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

17. Методика расчёта средней гармонической и геометрической и область их практического применения

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

(5.6)

К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая — со скоростью 100 км/ч, вторая — 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид

(5.7)

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

18. Методика расчёта моды и медианы и область их практического применения.

Медиана и мода — структурные (распределительные) средние величины Медиана (Ме) — это величина, которая соответствует варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда.

Для ранжированного ряда с нечетным числом индивидуальных величин (например, 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10) медианой будет величина, которая расположена в центре ряда, т.е. пятая величина.

Для ранжированного ряда с четным числом индивидуальных величин (например, 1, 5, 7, 10, 11, 14) медианой будет средняя арифметическая величина, которая рассчитывается из двух смежных величин. Для нашего случая медиана равна (7+10) : 2= 8,5.

То есть для нахождения медианы сначала необходимо определить ее порядковый номер (ее положение в ранжированном ряду) по формуле

(7.3)

где n — число единиц в совокупности.

Численное значение медианы обычно определяют по формуле

(7.4)

где xМе — нижняя граница медианного интервала; i — величина интервала; S-1 — накопленная частота интервала, которая предшествует медианному; f — частота медианного интервала.

Модой (Мо) называют значение признака, которое встречается наиболее часто у единиц совокупности. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой.

Чтобы найти конкретное значение моды, необходимо использовать формулу

Методические указания. Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака статистической совокупности в конкретных условиях места и времени

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 20Следующая ⇒

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины отражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов.

Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.

На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

В зависимости от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение.

Различают следующие виды средней, каждая из которых может быть простой и взвешенной:

· Средняя арифметическая;

· Средняя гармоническая;

· Средняя геометрическая;

· Средняя квадратическая, кубическая и т.д.

· Структурные средние: мода и медиана.

Средняя арифметическая простая (не взвешенная). Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В данном случае расчет проводится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Средняя арифметическая величина имеет следующие свойства, использование которых упрощает ее расчет.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

2. Сумма отклонений индивидуального значения признака от средней арифметической равна нулю:

3. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на туже величину.

4. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя соответственно уменьшится или увеличится в А раз:

5. Если все частоты уменьшить или увеличить в А раз, то средняя останется неизменной:

6. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Различают среднюю гармоническую простую и взвешенную.

Средняя гармоническая простая.

Средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение.

Средняя арифметическая и средняя гармоническая величины могут применятся в одних и тех же ситуациях, но по разным данным. Если в ИСС неизвестен числитель, то в расчетах применяется средняя арифметическая величина. Если в ИСС неизвестен знаменатель, то в расчетах используется средняя гармоническая величина.

Средняя квадратическая величина применяется тогда, когда вместо индивидуальных значений признака представлены квадраты исходных величин.

Средняя геометрическаяприменяется в случаях определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определения средней величины по относительным показателям.

Характеристиками структуры совокупности являются следующие структурные средние:

1. Мода (Mo) – величина признака, наиболее часто встречающаяся в совокупности, т.е. имеющая наибольшую численность в ряду распределения.

а) В дискретном ряду распределения мода определяется визуально.

б) В интервальном ряду распределения визуально можно определить только интервал, в котором заключена мода, который называется модальным интервалом. Мода будет равна:

где хМо– нижняя граница модального интервала;

iМо – величина модального интервала;

fМо – частота модального интервала;

fМо-1 – частота, предшествующая модальному интервалу;

fМо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

2. Медиана (Me) – значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда, т.е. делящее ряд распределения на две равные части.

а) В дискретном ряду распределения определяется номер медианы по формуле:

Номер медианы показывает то значение показателя, которое и является медианой.

б) В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается по следующей формуле:

где хМе– нижняя граница медианного интервала;

iМе – величина медианного интервала;

fМе – частота медианного интервала;

SМе-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

åfi/2 – полусумма частот ряда.

индивидуальный рабочий, Петр или Павел, более или менее отклоняется от среднего рабочего. Такие индивидуальные отклонения, называемые на языке математиков „погрешностями», взаимно погашаются и уничтожаются, раз мы берем значительное число рабочих» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 23, с. 334). Важная роль, которую играют Средние величины, видна, например, из того, что средний труд входит в определение стоимости; в анализе нормы прибыли большое значение имеет средний органический состав капитала; при определении амортизации исходят из среднего срока службы данного вида оборудования и т.д. Существуют различные типы Средние величины (см. Средние). При малой колеблемости индивидуальных величин выбор формы средней не имеет существенного значения, при большой колеблемости он диктуется природой объекта. Например, при вычислении средней производительности труда необходимо учитывать её прямую пропорциональность количеству произведённой продукции и обратную пропорциональность затрате рабочего времени на её выработку. Поэтому при нахождении средней из данных о дневной выработке рабочих вычисляют среднюю арифметическую, а при определении средней по данным о затрачиваемом ими на единицу продукции времени — среднюю гармоническую. При вычислении среднегодового темпа роста продукции, населения и т.д. исходят из того, что отношение окончательно достигнутого уровня к начальному (в данном ряде) равно произведению величин вида 1 + ti, где ti — темп роста для отдельного (i-го) года. Поэтому из этих величин определяют среднюю геометрическую и из неё вычитают 1 для получения среднего темпа.
Средние величины следует различать от огульных средних, неправомерно используемых для характеристики совокупности разнородных единиц. Впервые это различие показал В. И. Ленин в работе «Развитие капитализма в России» (1896—99).

В противоположность построениям, опиравшимся на антинаучное использование средних, он доказал, что разнородная масса крестьянских хозяйств не может характеризоваться одной средней, поскольку она в этом случае вместо обобщённой типической характеристики всех хозяйств превращается в огульную среднюю (см. Статистические группировки).
Со Средние величины тесно связан закон больших чисел (см. Больших чисел закон). При наличии случайного элемента в индивидуальных значениях он оказывается в Средние величины погашенным тем в большей мере, чем больше количество охватываемых средней индивидуальных величин.
Лит. см. при ст. Статистика.

Средние величины в статистике: сущность, свойства, виды. Примеры решения задач

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности, ведь значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть и случайные.

Приведем примеры экономических показателей, основанных на вычислении средней величины и раскрывающих ее сущность:

  • расчет средней заработной платы работников предприятия осуществляется делением общего фонда заработной платы на число работников;
  • средний размер вклада в банке находят делением суммы вкладов в денежном выражении на количество вкладов;
  • для определения средней дневной выработки одного работника необходимо объем работ (количество деталей), выполненных работником за определенный период разделить на число дней в этом периоде.

Виды средних величин, используемых в статистике

Рассмотрим основные виды средних величин, используемых при решении социально-эконмических и аналитических задач.

Средняя арифметическая простая вычисляется по формуле:

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным. Пример применения формулы средней арифметической простой представлен в задаче 1.

Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле:

При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам. Пример применения формулы средней арифметической взвешенной представлен в задаче 2.

Средняя гармоническая простая определяется по формуле:

Средние гармонические используются тогда, когда по экономическому содержанию имеется информация для числителя, а для знаменателя ее необходимо предварительно определить.

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле:

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов.

Пример применения формулы средней гармонической взвешенной представлен в задаче 3.

Средняя геометрическая простая (невзвешенная) опеределяется по формуле:

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая простая (невзвешенная) опеределяется по формуле:

Средняя квадратическая лежит в основе вычислений ряда сводных расчетных показателей.

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Мода (Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой (Ме) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Пример определения медианы и моды для дискретного ряда чисел представлен в задаче 1.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Для интервального ряда расчет моды осуществляется по формуле:

где Хо — нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); i — величина модального интервала; f Мо — частота модального интервала; f Мо-1 — частота интервала, предшествующего модальному; f Мо+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Для интервального ряда расчет медианы осуществляется по формуле:

Хо — нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); i — величина медианного интервала; Sme-1 — накопленная частота интервала, предшествующего медианному; f Me — частота медианного интервала.

Примеры решения задач по теме «Средние величины в статистике»

Задача 1. Дан ряд чисел: 15; 15; 12; 14; 13. Найдите размах, среднее арифметическое, медиану и моду этого ряда.

Решение

1) Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. В данном случае размах равен R = 15-12 = 3

2) Среднее арифметическое данного ряда находим по формуле средней арифметической простой. Хср = (15+15+12+14+13)/5=13,8

3) Для определения медианы необходимо предложенный ряд упорядочить – расположить числа, например, в порядке возрастания: 12; 13; 14; 15; 15.
Медиана нечетного количества чисел в дискретном ряде – это число, записанное посередине. Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.
Поскольку в нашем случае количество чисел ряда нечетноне, то Ме = 14.

4) Мода дискретного ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряде чаще других. Так как число 15 встречается в нашем ряде чаще других, то Мо = 15.

Задача 2. Имеется информация о численности студентов ВУЗов города и удельном весе (%) обучающихся студентов на коммерческой основе:

Определить: 1) средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе; 2) число этих студентов.

Решение

Для решения расширим предложенную таблицу:

Средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе определим по формуле средней арифметической взвешенной: Хср = (15×15+3×10+7×20) / (15+3+7) = 15,8%.

Ответ. Средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе равен 15,8%, число этих студентов – 3 950 человек.

Задача 3. Сумма невыплаченной своевременно задолженности по кредитам на 1 июля составила 92,4 млн. денежных единиц. По отдельным отраслям экономики она распределялась следующим образом:

Определить средний процент невыплаченной своевременно задолженности. Обоснуйте выбор формы средней.

Решение

Поскольку на различных предприятиях сумма задолженности по кредитам разная при разных удельных весах, то применим формулу средней гармонической взвешенной.
Хср = ΣW / Σ(W/х) = (32+14+46,4)/(32/20+14/28+46,4/16) = 92,4/5 = 18,48 %.

Ответ. Средний процент невыплаченной своевременно задолженности равен 18,48%.

Добавить комментарий

Закрыть меню