Задачи на переливания

Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Задачи на переливания (1 декабря 2012 года)

Знаменитый алхимик Йфаффель Цепустролис после многочисленных экспериментов и вычислений составил рецепт эликсира, при помощи которого свинец можно превратить в золото. Однако, для успеха необходимо точно отмеренное количество каждого из ингридиентов, а малейшая ошибка приведет к неудаче. И хотя в лаборатории имеется огромное число колб, пробирок, склянок и реторт, далеко не всегда можно отыскать ту ёмкость, которая имеет необходимый объём.

Традиционно в задачах на переливания сосуды не имеют делений, то есть переливать можно только до тех пор, пока сосуд, в который наливаем, не заполнится до конца, либо пока совсем не опустеет сосуд, из которого переливаем. Просто так остановиться на середине или разлить содержимое сосуда на две равные части тоже не получится.

1. Рядом с лабораторией протекает бурная река. Как при помощи двух бочек объёмом 3 и 5 галлонов отмерить ровно 4 галлона речной воды?

УказаниеРешение

Указание. На самом деле в этой задаче 3 сосуда: 3-хгаллонный, 5-тигалонный и река, куда тоже можно выливать воду из сосудов.

Решение. 4 галлона могут поместиться только в 5-тигаллонный сосуд. Они могут быть получены после доливания 1 галлона к 3, 2 галлонов к 2, 3 галлонов к 1, либо путём отливания от 5 галлонов 1 галлона. Чтобы можно было отлить ровно 1 галлон, нужно, чтобы в бочке назначения был свободен ровно 1 галлон, то есть чтобы в 3х-галлонной бочке перед этим было 2 галлона. Разность объёмов бочек легко получить: 2 галлона получаются, если набрать полную 5ти-галлонную бочку и отлить из неё в пустую 3х-галлонную бочку. После этого их надо перелить в 3х-галлонную бочку, предварительно опорожнив её обратно в реку. Итак, ответ может быть записан так (в каждом столбце текущая наполненность бочки, стрелками обозначены наливания и отливания; в первой строке в скобках написаны ёмкости бочек):

(max 3H) (max 5H) (РЕКА)
0 0 ↓
0 ↓ 5
3 2
0 ↓ 2
2 0 ↓
2 ↓ 5
3 4

2. У Цепустролиса есть нерастворимая колба, в которой содержится 12 миллилитров серной кислоты, а также две нерастворимые мензурки объёмом 5 и 7 миллилитров. Как ему получить две порции по 6 миллилитров серной кислоты, необходимых для опыта? (Кислота растворит любую другую посуду в лаборатории.)

УказаниеРешение

Указание. Может помочь решение пятой задачи.

Решение.

(max 12ml) (max 5ml) (max 7ml)
12 0 0 ↓
5 0 ↓ 7
5 ↓ 5 2
10 0 ↓ 2
10 2 0 ↓
3 2 ↓ 7
3 ↓ 5 4
8 0 ↓ 4
8 4 0 ↓
1 4 ↓ 7
1 ↓ 5 6
6 0 6

3. Однажды алхимику удалось в одном сосуде собрать и смешать 8 слезинок саламандры (важнейшую алхимическую субстанцию). У него есть два пустых флакона объёмом 2 и 3 слезинки. Как ему отмерить 4 слезинки? Не забывайте, что слёзы высыхают очень быстро! У Цепустролиса есть время только на три переливания, прежде чем редкое вещество испарится.

Указание

Указание. 4 = 2 + 2

4. Еще одним важным элементом эликсира является кровь кобры. В чаше собрано 10 ложек змеиной крови. Имеются ковши объемом 3 ложки и 4 ложки. Как ученому получить 5 ложек крови? Решая задачу, помните, что нужно сделать не более 5 переливаний, иначе драгоценная кровь свернётся и перестанет быть годной.

Решение

Решение.

(ЧАША) (3 л.) (4 л.)
10 0 0 ↓
6 0 ↓ 4
6 ↓ 3 1
9 0 ↓ 1
9 1 0 ↓
5 1 4

5. В подвале лаборатории растут мандрагоры и имеется неограниченный запас мандрагорового экстракта. Как при помощи мензурок из задачи №2 отмерить 4 миллилитра мандрагорового экстракта?

Но берегитесь! Если ни на одном из этапов ни в одной из мензурок не окажется ровно 3 миллилитра экстракта, мандрагоры закатят истерику и криками разрушат лабораторию!

Указание

Указание. Объёмы, равные разностям ёмкостей сосудов, отмерять легко:
2 = 7 — 5
Тогда удобно выразить
4 = 2 + 2

6. В лабораторной печи находится котел, в котором бурлит 9 литров расплавленного олова. В процессе эксперимента нужно через равные промежутки времени трижды добавлять в эликсир по 3 литра олова. Как осуществить это, если в наличии только три огнеупорных кубка объемом 5, 4 и 2 литра? (То есть нужно иметь в какой-то момент 3 порции по 3 литра.)

Указание

Указание. 3 = 5 — 2
Хранить полученную первой порцию, чтобы освободить сосуды для получения следующей, можно в оставшемся ненужным четырёхлитровом сосуде.



Однажды Винни Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Задумались и мы…, а сможем ли мы решить эту задачу?

После изучения литературы, посвященной логическим задачам, выяснилось, что пчелки предложили нашему любимому герою известную головоломку на переливание. Практически ни один популярный сборник, связанный с математическими задачами и головоломками, не обходится без раздела «Переливания». Это один из видов старинных занимательных задач, они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях, что делает их актуальными и сегодня.

Суть этих задач-головоломок сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. Понятно, что для поиска ответа можно перебрать все возможные варианты решения, но это очень долго и неудобно. Поэтому мы решили найти рациональный алгоритм решения задач на переливание.

На первом этапе работы мы, изучили математическую литературу по данной теме. Выяснилось, что можно выделить два основных типа задач на переливание:

– «Открытая система» — задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых сосудов из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.

– «Закрытая система» — задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую.

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что все сосуды без делений и нельзя переливать жидкости «на глаз».

Существует несколько методов решения задачи: метод компьютерного моделирования, метод таблиц, метод бильярда.

Рассмотрим эти методы на примере решения задачи Винни-Пуха, которая относится к типу «открытая система».

Метод компьютерного моделирования— основан на применении для решения задач виртуальных лабораторий, позволяющих моделировать реальные ситуации переливания жидкостей. Одна из таких виртуальных лабораторий — программа «ВОДОМАТИКА» (http://www.umapalata.com/design_ru/games/UP_Pereliv.asp?file=UP_Pereliv.swf).

Также для решения задач можно использовать виртуальную лабораторию «Переливания», созданную Лабораторией знаний «Бином».

Метод таблиц— основной прием, который используется при решении задач на переливание. В первом столбце указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания:

Ходы

5 л

3 л

Таблицы позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но существенным недостатком этого способа решения является отсутствие четкого алгоритма действий, невозможность предвидеть ближайшие шаги. Составлять такие таблицы можно довольно долго, так и не придя к нужному результату.

Метод бильярда заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика по столу особой конструкции с размерами, соответствующими объемам первоначально пустых сосудов.

В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали — в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд. Прослеживая дальнейший путь шара, мы попадаем в точку, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды.

Прорешав разные задачи типа «открытая система» на переливание различными методами, мы пришли к выводу, что задачи на переливания трудные, но их можно решать по определенному алгоритму:

  1. Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.
  2. Перелить из большей емкости в меньшую емкость.
  3. Вылить жидкость из меньшей емкости.
  4. Повторить действия 1–3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

В век новых информационных технологий мы много времени тратим на бессмысленные игры на компьютере. А не лучше ли заняться решением логических задач, пусть даже и с помощью компьютера? Ведь задачи на логику развивают в человеке догадливость, сообразительность и интеллект.

Литература:

1. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988

2. И. Ф. Шарыгин Математический винегрет М., АГЕНТСТВО «ОРИОН», 1991

3. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи на смекалку. — М.: Дрофа, 2003.

4. Сайт «Решение логических задач».

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

Все задачи на переливания принципиально делятся на 2 типа.

Первый – когда у нас есть много жидкости (озеро, бесконечно большая бочка, водопровод), и мы можем наполнять доверху сосуды сколь угодно большое количество раз, то есть количество жидкости не ограничено. При этом мы можем безбоязненно выливать воду из сосудов.

Второй – это когда жидкости у нас ровно столько, сколько изначально налито в сосудах (в этом случае у нас обычно не простая жидкость, а какая-либо особенная: молоко, сок и т. д.). Чаще всего эту жидкость ещё и нельзя проливать – авторы стараются это отдельно оговаривать. Если же мы можем выливать жидкость, то в условиях задачи обычно присутствует какой-либо персонаж, который может пить данный тип жидкости: Кот Баюн, сосед Гриша и т. п.

Также стоит понять принцип задач на переливания: например, если у нас есть сосуд объемом 8 литров и 5 литров, и нам надо отмерить 2 литра воды, мы не имеем права на следующее решение: «Наполним восьмилитровый сосуд на четверть – таким образом, мы и получим 2 литра воды». Или: «Давайте опустошим наш 5 литровый сосуд на 60%, тогда в нем останется ровно 2 литра воды». Нет, так делать нельзя. (Если у ребёнка в этом месте возникают вопросы, то вы можете придумать, например, такое оригинальное объяснение: «А вдруг наш сосуд – это какая-нибудь замысловатая ваза (или древняя амфора), конечно, без шкалы делений!» Или даже просто банка не вполне симметрична, а на глаз определить середину – проблематично…) Мы можем либо полностью наполнять сосуды, либо полностью опустошать их, либо переливать из одного сосуда в другой. При этом мы можем пользоваться тем, что при этих операциях часть воды может оставаться в сосуде, из которого дополняется другой сосуд.

Для примера решим три задачи.

Задача 1-го типа

Для приготовления компота маме нужно налить в 5-литровую кастрюли 4 литра воды. Как маме справиться с этой задачей, если у мамы есть кроме этой кастрюли ещё 3-литровая банка, водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду?

Решение.

Нальём в 3-литровую банку воду и перельём её в кастрюлю. Затем еще раз наполним банку и выльём в кастрюлю, сколько поместится. Тогда в кастрюле будет 5 литров и 1 литр в 3-литровой банке. Теперь выльем всю воду из кастрюли в раковину. Затем перельем литр из банки в кастрюлю и добавим ещё три литра, наполнив банку ещё раз. Теперь в кастрюле 1 + 3 = 4 литра, что и требовалось. Задача решена.

Наше решение можно проиллюстрировать таблицей:

Итак, мы получили желанные 4 литра. Задача решена! Мы считаем, что такой способ решения с помощью таблицы является достаточно наглядным, и рекомендуем для вашего совместного с ребёнком решения.

Задача 2-го типа

У Марьи есть 2 кувшина объёмом 8 и 3 литра. В восьмилитровом кувшине налит весь имеющийся у Марьи кисель. Как отмерить 2 литра киселя? Все излишки киселя можно отдать Коту Баюну, который просто обожает это лакомство.

Наполним трехлитровый кувшин доверху из восьмилитрового, после этого у нас будет 5 литров в 8-литровом и 3 литра в 3-литровом. Отдадим весь кисель из 3-литрового кувшина Коту Баюну. После этого у нас осталось 5 литров в 8-литровом и 3-литровый кувшин пуст. Снова наполним 3-литровый кувшин из 8-литрового. После этой операции в 8-литровом кувшине у нас останется ровно 2 литра (5 – 3 = 2). Мы отмерили 2 литра. Задача решена!

Решение также можно проиллюстрировать таблицей:

Ещё одна задача 2-го типа

Задача 3.

В кастрюле налито 8 литров супа. Есть также пустые 3-х и 5-тилитровая банки. Требуется отмерить 4 литра супа. Как это сделать, если суп нельзя проливать?

1 способ. Нальём суп доверху в меньшую банку, затем перельём полученные три литра в 5-литровую банку, а 3-литровую наполним снова. Теперь будем лить суп из 3-литровой банки в 5-литровую, пока она не наполнится доверху. Тогда в меньшей банке останется 1 литр (5 – 3 = 2 и 3 – 2 = 1). Перельём 5 литров в кастрюлю, а 1 литр – в большую банку. Затем перельём 3 литра из кастрюли в меньшую банку. После этого в кастрюле останется ровно 4 литра. Задача решена.

2 способ. Нальём суп доверху в большую банку, тогда в кастрюле останется ровно 3 литр. Перельём из большой банки в меньшую 3 литра, после чего перельём их в кастрюлю. Перельём 2 литра из большой банки в меньшую, и наполним большую банку доверху супом из кастрюли. После чего дольём меньшую банку (там было 2 литра, а помещается 3) из большей банки. Получим 4 литра в большой банке. Задача решена.

Проиллюстрируем оба способа таблицам:

Советуем использовать таблицу при решении подобных задач.

Также ребёнку можно дать следующую подсказку. Речь пойдет о задачах, где разрешается выливать жидкости. Пусть в какой-то момент наполнены все сосуды, может быть, частично. Тогда перед ребенком стоит вопрос о том, откуда вылить жидкость. Выливать стоит из полного сосуда, а не из полупустого, так как количество литров в полном сосуде мы всегда с лёгкостью снова получим, тогда как получить полупустой сосуд − дело затруднительное. Надеемся, что в процессе работы вы сами сможете придумать множество оригинальных приемов и способов!

Обратите внимание, что приведённые решения могут не являться единственными. Ни в коем случае не говорите ребёнку, что он как-то не так стал решать задачу, если первым ходом он, допустим, налил воду из крана не в больший, а в меньший сосуд! Просто тщательно следите за его действиями. В большинстве задач есть как минимум 2 способа решения, и, скорее всего, при правильном выполнении переливаний ваш ребёнок в конечном итоге получит результат. Правда, возможно, за большее число ходов, зато – сколько удовольствия от самостоятельного решения без подсказок он получит!

Желаем успехов!

Решения задач.

Решение задачи 1.
Наливаем кастрюлю.
Переливаем воду из кастрюли в банку.

Наливаем кастрюлю.
Доливаем полную банку, и в кастрюле остается 3 литра.

Решение задачи 2.
В скобках – второй вариант решения.

Сосуд 6 л Сосуд 3 л Сосуд 7 л
До переливания
Первое переливание
Второе переливание
Третье переливание
Четвертое переливание
Пятое переливание

Решение задачи 3.

Сосуд 8 л Сосуд 5 л Сосуд 3 л
До переливания
Первое переливание
Второе переливание
Третье переливание
Четвертое переливание
Пятое переливание
Шестое переливание
Седьмое переливание

Решение задачи 4.

Сосуд 16 л Сосуд 11 л Сосуд 6 л
До переливания
Первое переливание
Второе переливание
Третье переливание
Четвертое переливание
Пятое переливание
Шестое переливание
Седьмое переливание
Восьмое переливание
Девятое переливание
Десятое переливание
Одиннадцатое переливание
Двенадцатое переливание
Тринадцатое переливание
Четырнадцатое переливание

Решение задачи 5.
Если сначала наполнить 11-литровый сосуд, то потребуется 18 переливаний, а если 7-литровый, то, как следует из рисунка, – всего 14.

Слайд 1

Задачи на переливания Выполнила ученица МОУ «СОШ № 56» г. Саратова 6 «а» класса Макарова Дарья Руководитель: Прохорова С.А.

Слайд 2

Актуальность: Очень многие факты в математике , часто предлагаются в математических олимпиадах , но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы. Актуальность работы состоит в том, что задачи имеют практический характер. Задачи развивают логическое мышление, заставляют задумываться, подходить к решению какой либо проблемы с разных сторон, выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь.

Слайд 3

Цель исследования: Знакомство с новым методом решения задач и изучение материала, применяемого на уроках математики и внеурочных занятиях, как один из приемов решения задач.

Слайд 4

Задачи исследования: — Изучить историю происхождения задач на переливание; — Изучить задачу Пуассона — Решить задачи вышеназванным методом;

Слайд 5

Задачи на переливание — это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов.

Слайд 6

Задача П уассона

Слайд 7

Некто имеет двенадцать пинт вина (ПИНТА- старинная мера жидкости, равная примерно 0,568л.) и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт; у него два сосуда: один в восемь, а другой в пять пинт. Спрашивается, каким образом налить шесть пинт в сосуд восьми пинт? Обсуждение : Эту задачу недаром связывают с именем знаменитого французского математика, механика и физика Симеона Дени Пуассона (1781-1840). Когда Пуассон был ещё очень молод и колебался в выборе жизненного пути, приятель показал ему тексты нескольких задач, с которыми никак не мог справиться сам. Пуассон менее чем за час решил их все до одной.

Но особенно ему понравилась задача про два сосуда. Эта задача определила мою судьбу,- говорил он впоследствии.- Я решил, что непременно буду математиком. Прежде чем решать задачу Пуассона, Стоит решить несколько более простых задач.

Слайд 8

задача №1 Условие: У нас имеется два сосуда- трёхлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить один литр воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно сливать воду. Ответ: Эту задачу можно решить устно. Наполним трёхлитровый сосуд, перельём из него воду в пятилитровый. Вновь наполним трёхлитровый сосуд и будем переливать воду оттуда в пятилитровый сосуд до тех пор, пока он не наполнится до краёв. При этом в трёхлитровом сосуде останется 1 л. воды.

Слайд 9

Задача №2 Условие: У нас имеется два сосуда- трёхлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 6 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно сливать воду. Ответ: Выполняя лишь операции «наполним меньший сосуд», «перельём из меньшего сосуда в большей» , получим последовательность: 0-0; 3-0; 0-3; 3-3; 6.

Слайд 10

Ответ к задаче пуассона Выполняя лишь операции «наполним больший сосуд», «перельём из большего сосуда в меньший», «опорожним меньший сосуд», получим последовательность: 0-0; 8-0; 3-5; 3-0; 0-3; 8-3; 6-5.

Слайд 11

Задача №3 Условие: Как, пользуясь двумя сосудами- семи- и двенадцатилитровым, получить 1л воды? Ответ : Выполняя лишь операции «наполним меньший сосуд», «перельём из меньшего сосуда в большей» и «опорожним больший сосуд» , получим последовательность: 7-0, 0-7, 7-7, 2-12, 2-0, 0-2, 7-2, 0-9, 7-9, 4-12, 4-0, 0-4, 7-4, 0-11, 7-11, 6-12, 6-0, 0-6,7-6, 1-12.

Слайд 12

В рассмотренных о задачах на переливания было дано два сосуда и воду наливали из водопроводного крана. Лишнюю воду выливали. В новых заданиях не два сосуда, а три или больше. Воду берут НЕ из водопроводного крана. В таких задачах вода уже есть в каком-то сосуде, например, в самом большом. А маленькими ёмкостями мы будем переливать воду. Выливать воду нельзя. Если необходимо освободить сосуд, то лишнюю воду выливают в другой сосуд. Обычно больший сосуд – это хранилище откуда берут воду и в него сливают лишнюю.

Слайд 13

В первый сосуд входит 8 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 3л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л? 3л 5л 8л 3л 5л 0 5 3 2 3 0 0 3 3 3 1 5 1. Нальем 5л в 5-литровый сосуд 2. Перельем 3л в 3-литровый сосуд 3. Оставшиеся 2л перельем в 8-литровый сосуд 4. Перельем 3 л в 5-литровый сосуд 5. Нальем 3 л в 3-литровый сосуд 6. Перельем 2 л в 5-литровый сосуд В 3-литровом сосуде остался ровно 1 л. Задача решена.

Слайд 14

5л 8л 0 8 5 3 0 3 3 0 3 8 5 6 В первый сосуд входит 12 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 8л. Как разделить воду на две равные части? 12л 8л Попробуй прокомментировать действия самостоятельно. 5л 6л 6л Еще 6л в 12-литровом сосуде. Задача решена.

Слайд 15

2л 7л 0 7 2 5 Попробуй прокомментировать действия самостоятельно. Бидон, ёмкость которого 10л, наполнен керосином. Имеются еще пустые сосуды в 7л и 2л. Как разделить керосин в два сосуда по 5л каждый? 7л 2л 10л 5л 5л

Слайд 16

3 8л 3л 5л 0 5 3 2 0 2 2 0 2 5 3 4 0 4 3 6 6 1 1 4 Составь таблицу самостоятельно. В таблице надо отразить сколько литров воды в каждом из трех сосудов после каждого действия. Имеется три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 л. Первый из них наполнен водой. Как разлить воду в два из этих сосудов так, чтобы в каждом было по 4л? 3л 5л 8л 1 2 3 4 5 6 4л 4л 7

Слайд 17

7 12л 5л 9л 5 0 0 5 5 5 1 9 1 0 0 1 5 1 7 2 2 11 11 6 0 6 6 Составь таблицу самостоятельно. В таблице надо отразить сколько литров воды в каждом из трех сосудов после каждого действия. Имеется сосуды вместимостью 12, 9 и 5 л. Первый из них наполнен некоторой жидкостью, а два остальных — пустые. Как разлить воду в два из этих сосудов так, чтобы в каждом было по 6л? 12л 9л 5л 6л 6л 1 2 3 4 5 6 7 8

Слайд 18

Вывод: Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными просты и не требуют особых умозаключений. Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению. Данная тема, безусловно расширяет математический кругозор учащихся, обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач. Материал, используемый в работе, пригодится для решения задач занимательного характера , позволит применять методы и правила для решения нетрадиционных задач.

Слайд 19

Спасибо за внимание!

Добавить комментарий

Закрыть меню