Задача на оптимизацию

Пример про стирку

В нашей жизни часто возникают задачи, в которых нужно не просто найти «любое решение» (которое, как раз, достаточно легко найти), а «наилучшее» из возможных решений. Приведем пример. Допустим, у нас есть стиральная машина, в которую можно загрузить 6 килограмм белья. И есть наборы белья, весом 1,2,4,5,6 килограмм. Каждый набор необходимо стирать только целиком. Требуется составить программу стирки наилучшим образом.

Тут мы явно видим, что «какое-то» решение найти очень просто. Например, будем брать наборы белья по-порядку:

Номер стирки Какие наборы берем в стирку Сколько кг белья
стираем в этот раз
1 1+2 3
2 4 4
3 5 5
4 6 6

Итого, мы запустим стиральную машину 4 раза. Решение? Вполне себе решение. И вполне себе можно так и сделать — постирать 4 раза, и задача будет решена.

Но нам-то нужно именно «лучшее» решение. Будет ли наше решение, в котором мы стираем 4 раза лучшим? А вдруг можно так перетасовать белье, чтобы стирать 3 раза? Или даже 2 раза? На самом деле, в 3 раза вполне можно уложиться:

Номер стирки Какие наборы берем в стирку Сколько кг белья
стираем в этот раз
1 6 6
2 2+4 6
2 1+5 6

Это решение будет оптимальным — ведь за два раза можно постирать максимум $2\cdot6=12$ килограмм, а у нас $1+2+4+5+6=18$.

Задачи оптимизации

Такие задачи, где нужно найти наилучшее решение из возможных, называются задачами оптимизации. В таких задачах, как правило, выделяют два аспекта:

  1. Ограничения — это то, что ограничивает наши решения. Например, в нашей задаче мы не могли постирать все белье сразу, оно не влезло бы в стиральную машину. Поэтому максимальный объем белья в стиральной машине в нашем случае является ограничением. Как правило ограничения записываются в виде равенств или неравенств. В нашем случае это неравенство «количество белья, которое мы можем постирать за раз должно быть МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО 6 килограммам».
  2. Целевая функция — это некоторое числовое значение, которое показывает, насколько хорошо мы решили задачу. В нашем случае это количество стирок. Чем оно меньше, тем лучше. То есть, говоря по математически, число стирок, то есть целевую функцию, нужно «минимизировать». Иногда наоборот, целевую функцию необходимо максимизировать, сделать как можно больше — например, если целевая функция это прибыль предприятия от продажи товаров. Предприятие всегда стремится заработать как можно больше.

Такие задачи называются задачи оптимизации, а область математики, которая ищет ответы на такие задачи называется «Математическим программированием» (Изучается в курсах «Исследование операций», «Методы оптимальных решений» и т.п.).

Как правило, такие задачи приходят к нам именно из жизни, как задача, приведенная выше. Среди самых распространенных задач оптимизации, пришедших из жизни можно выделить следующие.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Основные типы оптимизационных задач

  • Производственная задача — существует некоторое предприятие, которое может выпускать некоторые изделия. На то, чтобы их выпустить необходимы различные ресурсы. Задано, сколько и каких ресурсов необходимо для каждого изделия, задано сколько ресурсов у нас имеется, и задано, сколько предприятие выручит за продажу произведенных изделий.

    Необходимо выбрать, какие изделия и в каком количестве выпускать, чтобы прибыль предприятия была максимальной.

  • Транспортная задача — существуют несколько предприятий, производящих некий ресурс, и существуют предприятия, которые его потребляют. Задано сколько единиц ресурса производит или потребляет каждое предприятие. Задано расстояние между каждым поставщиком и каждым потребителем ресурса. Необходимо перевезти ресурс от поставщиков к потребителям, чтобы при этом затратить как можно меньше бензина (то есть, проехать как можно меньше километров)
  • Задача об инвестициях — существует некоторое количество предприятий, в которые можно вложить инвестиции. Задана максимальная сумма инвестиций, и задана прибыль, которую можно получить, если вложить некоторое количество денег в какое-либо предприятие. Необходимо выбрать, сколько денег вложить в каждое предприятие, чтобы итоговая прибыль была максимальной
  • Задача о назначениях — существует некоторое количество людей, и некоторое количество работ, которые необходимо выполнить. Задано, какую стоимость нужно будет заплатить каждому человеку за выполнение каждой работы. Необходимо выбрать, какому человеку какую работу дать, чтобы все работы были выполнены, и необходимо было заплатить как можно меньше
  • Задача коммивояжера — существует некоторое количество городов, и указаны все расстояния между городами. Некому «коммивояжеру» необходимо посетить все города по одному разу (не заходя в один город дважды), при этом ему нужно передвигаться как можно меньше
  • Задача о ранце — существует некий ранец заданного объема. Также существует набор предметов, для каждого из которых задан их объем, и стоимость. Необходимо так наполнить ранец, чтобы все предметы в него влезли по объему, и их стоимость была максимальной

Если задача математического программирования пришла из жизни, то ее решением занимается дисциплина «Исследование операций». Именно она решает задачи из вышеприведенного списка.

Линейное и нелинейное программирование

Кроме этого, задачи математического программирования делятся на два больших класса:

  1. Если в задаче как ограничения, так и целевая функция представляют собой линейные функции, то есть, многочлены первой степени, то такая задача называется задачей линейного программирования. Например, если в нашей задаче про стирку мы обозначим количество взятых наборов №1, 2, 3, 4, 5 за $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, то количество итоговых килограмм должно получиться меньше или равно шести. То есть, $x_1+2x_2+4x_3+5x_4+6x_5\leq6$. Это ограничение линейно. Тем не менее, полностью нашу задачу за задачу линейного программирования принять нельзя, так как линейной должна быть еще и целевая функция, кроме того у нас есть неявное условие, что переменные $x_1-x_5$ должны принимать только значения $0$ (мы не берем набор) или $1$ (мы берем набор), а это ограничение нельзя записать в линейной форме.
  2. Если в задаче либо оганичения, либо целевая функция (либо и то, и другое) выражены в каком-либо другом виде, то данная задача называется задачей нелинейного программирования. Например, так было бы, если бы наше ограничение имело вид $x_1+3x_2^2+5x_3^3+10x_4^4+\sin(x_5)\geq100$

Задачи линейного программирования решаются, как правило, гораздо легче и быстрее, чем задачи нелинейного программирования. Поэтому мы и рассмотрим их в первую очередь.

В следующем разделе мы рассмотрим самую часто встречающуюся задачу линейного программирования — производственную задачу, и методы, которые позволяют ее решать. Однако, на самом деле, теми же самыми методами, как мы убедимся позднее, можно решить и любую другую задачу линейного программирования.

Далее: 2.1. Производственная задача

Полезное по теме

Учебник по МОР

Классические методы решения задач оптимизации

Методы исследования функций классического анализа представляют собой наиболее используемые методы решения несложных оптимальных задач, которые нам известны из курса математического анализа.

Обычной областью применения данных методов для решения задач оптимизации, когда критерий оптимальности удается выразить в аналитическом виде (аналитическим выражением). Это позволяет также найти не сложное аналитическое выражение для его производных. Уравнения, полученные приравниванием нулю первых производных и определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как, правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования.

Использование метода поиска оптимума путем приравнивания нулю частных производных минимизируемой функции ограничено следующим:

1) сложность решения полученной системы уравнений, при большой размерности задачи оптимизации, так как в эту систему могут входить разнородные уравнения;

2) дополнительные трудности при решении оптимальной задачи методами исследования функций классического анализа, которые возникают вследствие того, что система уравнений, получаемая в результате их применения, обеспечивает лишь необходимые условия оптимальности.

Поэтому все решения данной системы (а их может быть и несколько) должны быть проверены на достаточность. Для определения достаточности необходимо проводить дополнительные расчеты. В результате такой проверки сначала отбрасывают решения, которые не определяют экстремальные значения критерия оптимальности, а затем среди остающихся экстремальных решений выбирают решение, удовлетворяющее условиям оптимальной задачи, т. е. наибольшему или наименьшему значению критерия оптимальности в зависимости от постановки задачи.

3) методы исследования при наличии ограничений на область изменения независимых переменных можно использовать только для отыскания экстремальных значений внутри указанной области. В особенности это относится к задачам с большим числом независимых переменных (практически больше двух), в которых анализ значений критерия оптимальности на границе допустимой области изменения переменных становится весьма сложным;

4) целевая функция должна быть непрерывной и иметь первые и вторые производные, то есть для оптимизации дискретных параметров этот метод нельзя использовать;

5) параметры, определяющие оптимум целевой функции, должны не зависеть друг от друга.

Метод множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа позволяет находить экстремальные значения параметров для функции многих переменных в тех случаях, когда между параметрами существуют дополнительные связи. Данный метод применяют для решения задач такого же класса сложности, как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида уравнений ограничений. Необходимым условием экстремума является равенство нулю всех первых частных производных.

В основном при использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно повышается на число ограничений. В остальном, процедура поиска решений и проверки их на оптимальность отвечает процедуре решения задач без ограничений.

Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов на основе уравнений с частными производными и задач динамической оптимизации. При этом вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении задач оптимизации специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их помощью иногда удается снизить размерность решаемой задачи.

Недостатком метода является невозможность учета ограничений в виде неравенств, а также часть трудностей реализации метода классического анализа, перечисленных в пунктах 1-4.

Дата добавления: 2017-02-25; просмотров: 426 | Нарушение авторских прав

Рекомендуемый контект:


Похожая информация:


Поиск на сайте:


Один из способов повышения эффективности работы предприятия — это оптимизация бизнес-процессов. Эффективность — это отношение результата к затраченным усилиям. Оптимизация бизнес-процессов — это в свою очередь комплекс мероприятий, направленных на повышение их эффективности. Несмотря на многообразие методик по проведению оптимизации далеко не всегда удается достичь желаемого результата. Рассмотрим подробно причины, по которым оптимизация оказывается не успешной.

Процесс оптимизации обычно выглядит так.

  1. Определение цели оптимизации. Определяем критерии, по которым сможем судить о результате проведения оптимизации.
  2. Анализ бизнес-процессов, составление плана оптимизации. Здесь мы составляем перечень бизнес-процессов, определяем их назначение и место в деятельности предприятия, записываем их в выбранной нотации, уточняем детали. Составляем план того, что нужно сделать для достижения целей с учетом существующих бизнес-процессов.
  3. Выполнение плана оптимизации. Выполнение плана, мониторинг достижения цели оптимизации.

Рассмотрим подробно каждый этап при проведении оптимизации.

Определение цели оптимизации

Цель — это желаемый результат, который нужно достигнуть за определенный промежуток времени. При этом цель должна быть измеримой, ее достижение должно быть возможным с учетом имеющихся ресурсов (люди, деньги, материалы). Если в поставленной цели отсутствует хотя бы один указанный компонент, то она становится бесполезной. В этом случае сложно определить, достигли мы результата или нет. На практике довольно часто бывает так, что цель окончательно определяется уже в процессе оптимизации, что является нормальным. Поэтому данный фактор может привести к провалу, только если над целью совсем не ведется работа. Но тогда, очевидно, что и сам проект по оптимизации бесполезен.

Анализ бизнес процессов, составление плана оптимизации

Основная причина неуспеха — это инженерный подход к анализу и составлению плана оптимизации. Если мы описываем технологию производства, например, стула, то схема будет однозначной. Если мы описываем процесс работы мастера-сборщика, который собирает стул, то схема будет приблизительной, ведь он может отойти от правил. Человек может устать, заболеть, работать с маленькой скоростью из-за плохого настроения, проявлять инициативу и отходить от правил. Все это входит в понятие рабочая среда человека, частью которой он сам является. Рабочая среда — это комплекс орудий труда, условий труда и мотивации сотрудника к работе. Попытка разложить бизнес-процессы на составляющие шаги, оптимизировать их, но при этом не менять рабочую среду изначально противоречива. Рассмотрим пример оптимизации процессов курьерской службы. Сотрудники курьерской службы доставляют корреспонденцию в пределах одного города. Утром они заезжают в офис, сдают отчет о выполненных заданиях, получают новые задания на доставку, корреспонденцию и затем в течение дня их выполняют. Поставлена задача повышения процента выполнения заявок в срок на определенную величину. Схема бизнес-процесса выглядит так (Рис 1):

Рисунок 1. Схема процесса выполнение заданий на доставку корреспонденции

Если в оптимизации отталкиваться только от бизнес-процесса, тогда мы получим следующие варианты:

  • «Контроль исполнения заявок». Добавить число диспетчеров, которые принимают отчеты о выполненных заданиях. Разработать форму отчетности, которая облегчает перенос невыполненных заданий в список заданий на следующий день.
  • «Подготовка списка задач на день». Нужно организовать подготовку списка заданий заранее. Для этого ввести стандартный бланк заявки на доставку для отправителей. Либо принимать заявки в электронном виде, чтобы автоматически формировать из них задачи на день
  • «Планирование маршрутов». Планировать маршруты так, чтобы одному курьеру выдавались задания, чьи адреса расположены рядом друг с другом.
  • «Выполнение задания № (1,2,3…N)». Ужесточить контроль за выполнением заданий, обязать курьеров звонить каждый раз по окончании выполнения очередного задания, чтобы контролировать появление простоев и ликвидировать их в дальнейшем.

Теперь рассмотрим рабочую среду курьера и определим целесообразность предложенных мероприятий.

  • Работа курьера чаще всего низкооплачиваемая. Для большинства людей это временная занятость. Кроме того, это работа, которая не несет перспектив, и усилия для ее выполнения будут прикладываться минимальные.
  • Если не будет прямой связи между результатом и оплатой труда, то возникнет закономерное желание не торопиться с выполнением заданий.
  • Необходимость оплачивать за свой счет проезд, мобильную связь, обед, покупать одежду для работы также заставляет делать приоритет на экономии своих затрат, а не на скорейшем выполнении заданий.
  • Для курьера лучше, если последний адресат по последней задаче будет находиться ближе к месту проживания. Так можно вернуться домой раньше.
  • Низкий социальный статус курьера снижает желание работать хорошо. Отношение к курьерам чаще всего хуже, чем, например, к менеджерам по продажам.

Что произойдет, если проигнорировать рабочую среду курьера и выполнить рекомендации на основе только схемы бизнес-процессов?

  • «Контроль исполнения заявок». Курьер не заинтересован в скорейшей сдаче отчета. Получается, что мы делаем возможным сдачу отчета одновременно нескольким курьерам, а сами курьеры в этом не заинтересованы.
  • «Подготовка списка задач на день». В этом этапе курьеры не участвуют. Допустим, что в данном примере все предложенные изменения действительно повысят скорость формирования заданий на день.
  • «Планирование маршрутов». Курьер заинтересован в том, чтобы при выполнении заданий возникало как можно больше препятствий. Тогда у него будет законное основание не выполнять остальные задания, назначенные на этот день.
  • «Выполнение задания № (1,2,3…N)». Курьер будет по возможности избегать звонков с мобильного телефона за свой счет, потому что у него маленькая зарплата.

Таким образом, применяя на практике инженерный подход, когда мы игнорируем рабочую среду и основываемся лишь на бизнес-процессах, большая часть изменений изначально обречена.

Выполнение плана оптимизации

На этом шаге есть три основные проблемы: низкая исполнительская дисциплина, слабое взаимодействие участников процесса и сопротивление персонала изменениям.

Низкая исполнительская дисциплина является следствием постановка задач на основе теории Тейлора. Теория предполагает систему управления, которая базируется на иерархии и авторитарном принятии решений. При таком подходе руководитель отдает приказ и требует его выполнения независимо от согласия сотрудника. Люди, в отличие от других ресурсов, имеют свое мнение по всем вопросам и даже по приказам. В итоге сотрудник будет искать возможность выполнить работу так, как считает нужным. А если это невозможно, то не будет заинтересован в ее выполнении. Рассмотрим пример с курьерской службой. Нужно доставить один из документов обязательно сегодня. Курьеру поставлена задача в виде «этот документ должен быть доставлен сегодня обязательно». Адрес доставки находится дальше, чем адреса по остальным заданиям. Курьер принимает решение доставить этот документ в последнюю очередь, чтобы успеть доставить остальные документы. В итоге он опаздывает к концу рабочего дня получателя документа и не успевает его отдать. Здесь мнение курьера изменило приоритеты выполнения заданий, с его точки зрения это выглядит разумно, он успел выполнить большее число заданий.

Слабое взаимодействие. Большинство бизнес-процессов предприятия выходят за рамки одного отдела.

В примере с курьерской службой в бизнес-процессе по доставке корреспонденции участвуют как минимум два отдела. Заказчики, это может быть любой отдел компании, секретариат, куда входят диспетчер и курьеры. Когда мы рассматриваем производство, то там взаимодействие происходит в рамках технологического процесса, суть которого — выполнение этапов в строго указанном порядке для получения продукта. Если на вход к рабочему поступает деталь, не соответствующая заданным параметрам, то он ее не примет в работу. Когда мы говорим о бизнес-процессах, у нас есть только ориентиры того, как должно происходить взаимодействие. Задание на доставку может быть передано в любом виде с указанием адреса и контакта, потому что так заказчику удобнее. Но с точки зрения эффективности процесса обработки заданий, лучше, если они будут выдаваться на бланках стандартной формы. Знакомый всем пример, когда в секретариат заказчик передает конверт с документами, а к конверту прикреплен листок с адресом и фамилией контактного лица. Когда число конвертов не превышает двух — трех в день, на скорость обработки заданий это не влияет. Если число конвертов превышает десятки в день, то очень вероятно, что секретарь начнет ошибаться при составлении общего списка заданий на день. Основные причины слабого взаимодействия — это расхождение представлений участников процесса о должностных обязанностях друг друга и противоречие между природой бизнес-процессов и организационной структурой. Различное представление сотрудников — это следствие того, что бизнес-процессы не достаточно оптимизированы. Если мы представим себе парикмахерскую, то довольно просто определить, кто чем занимается. Услуги оказывают мастера, оплату принимает администратор, а вопросы о закупке косметических средств решает директор. Если на предприятии больше двухсот человек, то найти ответственного за решение того или иного вопроса бывает сложно. Тем более если речь идет о крупной компании, в которой работают тысячи человек. Бизнес-процесс характеризуется наличием входного задания (документ, событие, приказ), набора этапов и выходного результата. С точки зрения результата бизнес-процесс это неделимая единица, его границы — от входного задания до результата. Организационная структура может быть разной, функциональной, дивизионной, матричной или другого типа. Ее границы — это рамки подразделения, группы людей. При наложении бизнес-процесса на организационную структуру мы получаем разделение первого о границы второго. Например, взаимодействие отделов продаж и закупок. Отдел продаж продает продукцию по прайс-листу со склада, а отдел закупок поддерживает постоянный складской запас. Менеджер отдела продаж запросил информацию о будущих поступлениях на склад, чтобы гарантировать клиенту отгрузку крупной партии товара. Менеджер отдела закупок выслал файл, в котором указана информация. Но структура файла сделана так, чтобы было удобно работать менеджеру по закупкам. В итоге менеджер по продажам не смог найти нужную для себя информацию и снова обратился за помощью. Менеджер по закупкам отказал в помощи, ссылаясь на то, что в документе есть необходимая информация. Дальше этот вопрос мог бы решаться с привлечением руководителей отделов или перерасти в конфликт. Если бы оба менеджера работали в одном отделе, вопрос решился бы сразу после привлечения руководителя. Отчасти в этом примере есть и первая причина — различное представление о должностях, обязанностях друг друга.

Сопротивление персонала является следствием недостаточной информированности сотрудников при проведении изменений. Если оптимизация сделает работу более удобной, даст возможность выполнять ее быстрее и получать за это ту же заработную плату, то любой сотрудник будет только «за». Но когда сотрудник об этом не знает, он может сделать предположение на основе слухов или обрывков информации. И предположения чаще всего негативные, о сокращении штата, об увеличении рабочей нагрузки без увеличения заработной платы. Другой случай, когда оптимизация повлечет за собой сокращение численности персонала. Для сотрудников, которые будут сокращены, возникает угроза положения. И если они догадаются об этом до официального объявления, то сопротивление с их стороны будет логичным.

Версия для печати

ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ.

Принятие решения по выбору альтернативы представляет собой сознательный выбор среди имеющихся вариантов или альтернатив направления действий, сокращающих разрыв между настоящим и будущим желаемым состоянием объекта исследования. Альтернатива- один из вариантов выбора. Принятие решений осуществляется с помощью методов оптимизации. Оптимизация в широком смысле слова находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности.

Оптимизация — целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и др). Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев — невозможно. Особенно большие трудности возникали при решении задач оптимизации процессов в сложных ТС из-за большого числа параметров и их сложной взаимосвязи между собой. При наличии ЭВМ задача заметно упрощается.

При постановка задачи предполагает существование конкурирующих свойств того или иного технологического процесса, например: 1) количество продукции — расход сырья» ; 2)количество продукции — качество продукции»

Выбор компромиссного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого. Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации: «Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости».

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимума 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

а) получить максимальную производительность при заданной себестоимости;

б) получить минимальную себестоимость при заданной производительности;

В первом случае критерий оптимизации — производительность а во втором — себестоимость.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы — управляющими воздействиями.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод ). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой-критерием оптимальности. Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции. Наиболее общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частных задачах оптимизации, когда объект является частью технологического процесса, не всегда удается или не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход продукта, степень превращения, температура). Например устанавливается оптимальный температурный профиль, длительность цикла — «реакция — регенерация». Но в любом случае любой критерий оптимальности имеет экономическую природу. Критерий оптимальности должен иметь ясный физический смысл ,отражать наиболее существенные стороны процесса , должен иметь количественную оценку. В том случае, когда случайные возмущения невелики и их воздействие на объект можно не учитывать, критерий оптимальности может быть представлен как функция входных (управляющих) и выходных параметров Y=f (Х). Как правило, для конкретных задач оптимизации производства того или иного вида продукции критерий оптимальности не может быть записан в виде аналитического выражения.

В принципе, для оптимизации вместо математической модели можно использовать и сам объект, однако оптимизация опытным путем имеет ряд существенных недостатков: а) необходим реальный объект; б) необходимо изменять технологический режим в значительных пределах, что не всегда возможно; в) длительность испытаний и сложность обработки данных. Наличие математической модели (при условии, что она достаточно надежно описывает процесс) позволяет значительно проще решить задачу оптимизации аналитическим либо численным методами.

Итак, для решения задачи оптимизации необходимо:

а) составить математическую модель объекта оптимизации; б) выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию;

в) установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные;

г) выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения искомых величин. Пример.

2.2.Основные определения теории принятия оптимальных технических решений.

Решение многих теоретических и практических задач сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) целевой скалярной функции y= f (х), где -вектор аргументов.Вектор х*, определяющий минимум целевой функции, называют оптимальным. Отметим, что задачу максимизации f(x) можно заменить эквивалентной ей задачей минимизации или наоборот. Если х* — точка минимума функции y = f(x), то для функции y = — f(x) она является точкой максимума.

Рис.1.

В реальных условиях на переменные x i, i=1, …. n, и некоторые функции gi (х), hi(х), характеризующие качественные свойства объекта, системы, процесса, могут быть наложены ограничения (условия) вида:

g i (х) = 0, i=1, …. n 1,

h i (х) <= 0, i=1, …. n 2, (1)

a <= x <= b,

где а и б – вектора. Такую задачу называют задачей условной оптимизации. При отсутствии ограничений имеет место задача безусловной оптимизации. Каждая точка х в n-мерном пространстве переменных х1, …, хn, в которой выполняются ограничения, называется допустимой точкой задачи. Множество всех допустимых точек называют допустимой областью Х. Точка х* определяет глобальный минимум функции одной переменной у= f(x), заданной на числовой прямой Х , если x * X и f(x*) < f(x) для всех x* X (рисунок а). Точка х* называется точкой строгого глобального минимума, если это неравенство выполняется как строгое. Если же имеет место выражение f(х*) <= f(x) , то реализуется нестрогий минимум. (рисунок б).

Рис. 2. Глобальный минимум. а — строгий, б — нестрогий

На следующем рисунке показаны экстремумы функции одной переменной у=f(х) на отрезке .

Здесь х1, х3, х6 — точки локального максимума, а х2, х4 — локального минимума. В точке х6 реализуется глобальный максимум, а в точке х2 — глобальный минимум.

Рис.3. Экстремумы функции.

Добавить комментарий

Закрыть меню