Высшая математика термины

Основные теоретические сведения

Матрицы

К оглавлению…

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a14 есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a32 стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается AT. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

  • Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
  • В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
  • Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
  • Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу aik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента aik. Обозначают алгебраическое дополнение Aik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1)i+k. Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

Обратная матрица

К оглавлению…

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

  1. Найти определитель матрицы.
  2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
  3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
  4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

Производная

К оглавлению…

Рассмотрим некоторую функцию f(x), зависящую от аргумента x. Пусть эта функция определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях. Рассмотрим небольшое изменение аргумента функции ∆x. Пусть при этом функция изменилась на ∆f(x). Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение:

Если у функции можно рассчитать производную, то функцию называют дифференцируемой. А саму операцию вычисления производной называют дифференцированием. В математике принято обозначать производную следующим образом:

Все обозначения равнозначны. Допустимо использовать любое. На практике, конечно, никто не считает производную по определению. Все проще. Для начала необходимо запомнить таблицу производных элементарных функций. По определению, все элементарные функции (те функции, которые Вы изучали в школе) дифференцируемы на всей области определения. Затем также нужно освоить правила дифференцирования.

Таблица производных

Правила вычисления производной

>Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению…

Производные. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению…

Архив словаря (doc, 43 Kb)

Перед вами краткий словарь математических терминов. Он представляет собой словарь-справочник для всех, кто интересуется математикой. Но, прежде всего он обращен к школе: как к учителю, так и к учащимся. Такой адресат определяет в принципе и состав его словника, т.е. объясняемые в словаре слова, и принятую в нем форму изложения, значительно более простую и доступную, нежели во всех существующих этимологических словарях.

Т.к. большинство слов современной научной лексики восходит к латыни или еще более древнему греческому языку, в словаре толкуется происхождение основных математических терминов и дается их определение.

Мы постарались собрать почти все математические термины из школьного курса, заимствованные из других языков. Тем более что “математическая этимология” разбросана в небольшом количестве относительно малодоступных книг и привлекает постоянное внимание, невольно прививает интерес к математике, расширяет кругозор, повышает общую культуру речи, позволяет глубже проникнуть в тайны математического языка, лучше понять определения слов.

“Моментальная” справка наводится с помощью алфавитного указателя. Как принято в большинстве современных книг по лингвистике, греческие слова мы будем записывать в латинской транскрипции. После основного текста в словаре помещаются таблица возникновения основных математических знаков и список сокращений, употребляемых при толковании этимологии слов.

АБВГДЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЭ

Таблица возникновения основных математических знаков

Список сокращений

Америк. – американский

Англ. – английский

Араб. – арабский

Вертик. — вертикальный

Греч. – греческий

до н.э. – до нашей эры

Др.- древний

др. — другие

Древнегреч. – древнегреческий

Др.- рус. – древнерусский

Заимств. — заимствовано

Итал. – итальянский

Лат. – латинский

Матем. — математический

Немецк. – немецкий

Позднелат. – позднелатинский

Русс. – русский

Ст.-сл. – старославянский

суф. – суффикс

Т. — термин

т.е. – то есть

тригонометр. — тригонометрический

Франц. – французский

Яз. – язык

Литература

1. Азимов А. Язык науки. — М.: “Мир”, 1985 г.

2. Алгебра: Учеб. для 7 кл. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. Под ред. С.А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2000.

3. Алгебра и нач. анализа: Учеб. для 10-11 кл. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др. Под ред. М.В. Волкова. — М.: Просвещение, 1997.

4. Алгебра и нач. анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. Под ред. Башмакова — М.: Просвещение,1993.

4. Большая школьная энциклопедия. 6-11 кл. — М.: “Олма-пресс”, 2000.

5. Большой энциклопедический словарь. – М.: Большая российская энциклопедия, 1998.

6. ВиленкинН.Л., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф.За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1996.

ВыгодскийМ.Я. Справочник по элементарной математике. “Санкт — Петебургский оркестр”, 1994.

8. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. / Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 1993.

9. Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 классы. — М.: Просвещение, 1981.

10. Земляков А.Н. Геометрия в 9 кл. Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1988.

11. Земляков А.Н. Геометрия в 11 кл. Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1991.

12. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. для уч-ся 5-6 кл. — М.: Просвещение, 1992.

13. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. — М.: Просвещение, 1993.

14. Кушнир. Математическая энциклопедия. — ООО “Астарта”, 1995.

15. Математика в понятиях, определениях и терминах Ч.1. Под ред. Сабинина Л.В.. — М.: Просвещение, 1978.

16. Математика в понятиях, определениях и терминах Ч.2. Под ред. Сабинина Л.В.. — М.: Просвещение, 1982.

17. Математика: Учеб. для 5 кл. / Дорофеев Г.В. и др.; под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.. — М.: Просвещение, 1994.

18. Математика: Учеб.-собеседник для 5 кл. / Шеврин Л.Н., Волков М.В. — М.: Просвещение, 1994.

19. Математика: Школьная энциклопедия / Никольский С.М. – М.: Большая Российская энциклопедия; Дрофа, 1997.

20. Математический энциклопедический словарь / Прохоров Ю.В.. – М.,1988.

21. Математическая энциклопедия /Виноградов И.М., т.5 — М.: Советская энциклопедия, 1985.

22. Минковский В.Л. За страницами учебника математики: для 9-10 кл.- М.: Просвещение, 1983.

23. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для уч-ся 4-8 кл.

— М.: Просвещение,1988.

24. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика — М.: Педагогика, 1989.

25. Современный словарь иностранных слов. — СПб.: Дуэт, 1994.

26. Шанский И.М., Боброва Т.А. Этимологический словарь русского языка. – М:1994.

27. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / М. Аксенова / — М.

Высшая математика простым языком

«Не так страшен чёрт, как его малюют!»

Эта известная народная поговорка будет воплощена в жизнь на страницах этого сайта применительно к высшей математике.

Человек существо крайне любознательное и изобретательное. После того, как наши далёкие предки удовлетворили свои главнейшие насущие потребности в добывании хлеба насущного, значительную часть своей жизни они посвятили «зрелищам».

Одно из главных отличий человека от зверя заключается в том, что жителю дикой природы, если он наеден, напоен, и находится в комфортных климатических условиях, неизвестно такое состояние, как скука.

Сытый, умытый, одетый и выспавшийся человек, как правило, начинает искать чем бы ему ещё заняться. Некоторые люди начинали бегать и прыгать — так зародился современный спорт; некоторые — пели, танцевали, рисовали — так зародилось современное искусство; а некоторые — думали и сопоставляли — так зародилась современная наука.

Математику смело можно назвать «придуманной наукой».

Всё началось с придумывания древними людьми цифр, из которых начали складывать числа. Сначала люди научились считать — так появились натуральные числа, затем люди научились делить — так появились дроби.

В процессе своей эволюции люди становились умнее, их знания расширялись, но, самое главное, людей становилось всё больше и больше, соответственно всё чаще и чаще стали рождаться действительно незаурядные и одарённые природой личности, которые на определённом этапе давали той или иной науке новый качественный скачок, значительно расширявший поле для деятельнсти следующим поколениям.

Так были «придуманы» отрицательные числа. С их появлением встала проблема упорядочивания арифметических действий. Например, условились, что произведение двух отрицательных чисел будет числом положительным. Исходя из этого, появилось новое ограничение, как то, невозможность извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Однако, спустя некоторое время, кому-то пришла в голову «хотелка» — «а, почему, собственно, нельзя? Если очень хочется, то можно» — так появились комплексные числа.

Не исключено, что когда-то настанет время, когда кто-то «придумает» «разрешение делить на ноль».

В общем, по мере развития математики, как науки, некоторые вещи стали далеко не очевидными и мало понятными рядовому обывателю. Чтобы как-то разграничить простое от сложного в математике ввели понятие «Высшая математика».

Надо признать, что сиё название никак нельзя назвать удачным, ибо оно сразу «ставит на место» «простого смертного», который, услышав такое словосочетание, понимает, что сия наука — удел избранных.

Далее постараемся развеять «магию» высшей математики, и простыми словами рассказать, что такое производная, интеграл, дифференцирование и много прочих «заумных» терминов, за которыми, в общем-то, стоят достаточно простые понятия.

Конечно же, читатель должен обладать определёнными базовыми математическими знаниями на уровне программы средней школы, — высшую математику не изучить, если не знать, например, что такое функция или квадратный корень.

В начало страницы

Добавить комментарий

Закрыть меню