Уравнение и неравенства

Уравнения и неравенства с одной переменной. Теоремы о равносильности.

Уравнения с одной переменной.Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным.

Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

Теоремы о равносильности уравнений. Первые три теоремы — «спокойные», они гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение,равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение

Следующие три теоремы — «беспокойные», они работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(х)=g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(х) = g(х);

б) нигде в этой области не обращается в 0 — то получится уравнение f(х) h(х) = g(х) h(х), равносильное данному.


Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень п получится уравнение, равносильное данному: f(х)n = g (x)n .

Теорема 6. Если f(х) > 0 и g (х) > 0, то логарифмическое уравнение

, равносильно уравнению f(х) = g(x).

Линейные неравенства с одной переменной.Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 – ложное высказывание. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяем более простым равносильным ему неравенством и т.д.

Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (соответственно ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Рекомендуемые страницы:


Воспользуйтесь поиском по сайту:

Дина Соломоновна Волкац (Волканц; 1920, Полтава, Полтавская область — ?) — участник Великой Отечественной войны, специалист на подготовке собак МРС (минно-розыскной службы). Первая и единственная женщина, занимавшая командирскую должность в этой службе во время войны. Сумела подготовить первую в Красной Армии собаку-диверсанта Дину. Личной собакой Дины Волкац был пёс-миноискатель Джульбарс.

Является фотографом всех книг своего мужа — известного кинолога А. П. Мазовера (1905—1981). В 2010 году вышла книга «Гражданская специальность — актриса» Светланы Гладыш — биография Дины Соломоновны Волкац.

Собаки

  • Личной собакой Дины был Джульбарс, которого Дина выбрала, учась в Центральной школе военного собаководства «Красная Звезда». На её выбор начальник отделения сказал:

«Хуже собаки найти не удалось? Разрешите узнать, по каким же признакам вы её выбрали?» — «По глазам»

На параде Победы 24 июня 1945 года по личному приказу И. В. Сталина на его кителе был пронесён служебный пёс-сапёр Джульбарс, обнаруживший более 7 тысяч мин и 150 снарядов, раненный незадолго до окончания войны.

  • Дина Волкац лично дрессировала первую собаку-диверсанта Дину. Овчарка Дина, принимая участие в «рельсовой войне» в Белоруссии, сумела затащить вьюк со взрывчаткой прямо под колёса паровоза, пустив вражеский эшелон под откос. При этом собака вернулась живой к инструктору.

Свойства числовых неравенств

  • Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c (Пример: 8 > 4 и 4 > 3 => 8 > 3)
  • Свойство 2. Если a > b, то a + const > b + const. Const-произвольное число (Пример: x — 3 > 0 <=> x — 3 + 8 > 0 + 8)
  • Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > bm;

Если a > b и m < 0, то am < bm. m-произвольное число.

Смысл свойства 3 заключается в следующем:

  • если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число,то знак неравенства следует сохранить;
  • если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить(знак “<” на “>”, знак “>” на “<”);(для нестрогих неравенств)

Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a > b на -1, получим: -a < -b.

  • Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)
  • Свойство 5. Если a,b,c,d –положительные числа и a > b, c > d то ac > bd (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 * 3 > 4 * 2)

Линейные неравенства

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 < 7.

Решение:

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7— верное числовое неравенство.

Давайте упростим наше неравенство.

1) Согласно свойству 2 к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число “-5”, получили:

2х + 5 — 5 < 7 — 5.

2х < 2

Получили более простое неравенство.

2) На основании свойства 3 можно разделить обе его части на положительное число 2, полученное неравенство:

х < 1

Что это значит?

Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Таким образом, множеством решений данного неравенства является множество чисел x < 1 (или иначе в виде числовой прямой (-∞;1])

Свойства позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

  • Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
  • Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
  • Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т.е. неравенств, сводящихся к виду

ах + b > 0

где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.

Если а = 0, то рассматриваем 2 случая:

1) Если b > 0, то x может быть любое число (Ответ: )

2) Если b < 0, то решения нет (Ответ: )

Пример 1:

Решить неравенство

Зх — 5 ≥ 7х — 15.

Решение.

Руководствуемся правилом 1 перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член -5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена -5. Тогда получим:

Зх — 7х ≥ -15 + 5

-4х ≥ -10

Согласно правилу 3 разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число -4, не забыв при этом сменить знак неравенства.

Получим:

х ≤ 2,5.

Это и есть решение заданного неравенства.

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞; 2,5].

Ответ: (- ∞; 2,5].

Пример 2:

Решить неравенство

Решение. Руководствуясь правилом 2, умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения. Это позволит нам освободиться от знаменателей, т.е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

5x + 3(2x — 1) > 30x — 1

5x + 6x — 3 > 30x — 1

11x — 3 > 30x — 1

Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

11x — 30x > -1 + 3

-19x > 2

Наконец, применив правило 3, получим:

Ответ: (-∞, ).

Пример 3:

Решить неравенство

3x + 2 > 2(x + 3) + x

Решение.

Раскроем скобки во второй части неравенства:

3x + 2 > 2x + 6 + x

Руководствуясь правилом 1, перенесем члены «с иксом» в левую часть неравенства, а «без икса» в правую:

3x — 2x — x > 6 — 2

0x > 4

0 > 4

Получаем противоречие.

Решения нет.

Ответ:

Пример 4:

Решить неравенство

2(x — 1) + 3 > 2x — 5

Решение.

Раскроем скобки во второй части неравенства:

2x — 2 + 3 > 2x — 5

Руководствуясь правилом 1, перенесем члены «с иксом» в левую часть неравенства, а «без икса» в правую:

2x — 2x > 2 — 5 — 3

0x > -6

0 > -6

Получаем верное неравенство.

В данном случае можно взять любое число x, так как от него не зависит решение.

Ответом является вся числовая прямая.

Ответ:

В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств и правила, мы в этом параграфе учились решать не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ax > b, такие неравенства называются линейными. Далее мы изучим методы для решения более сложных неравенств.

Перейти к тесту

Добавить комментарий

Закрыть меню