Теоремы по алгебре

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что полекомплексных чиселалгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константымногочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся привлекают неалгебраические концепции, вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений с вещественными и комплексными коэффициентами.

Декарт в труде «Геометрия» (1637) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням».

Маклорен и Эйлер уточнили формулировку теоремы, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. Д’Аламбер первым в 1746 году представил доказательство этой теоремы, которое было опубликовано в 1748 году; оно, однако, основывалось на лемме, доказанной только в 1851 году, причём доказанной с использованием основной теоремы алгебры.

В 1749 году было представлено, а в 1751 году — опубликовано, доказательство Эйлера, при этом работал он над данной проблемой почти в то же время, что и Д’Аламбер. Также во второй половине XVIII века появляются доказательства Лагранжа (1772), Лапласа (1795) и других. Все эти доказательства тоже опирались на недоказанные предположения — например, Эйлер считал очевидным, что вещественный многочлен нечётной степени непременно имеет вещественный корень, а Лаплас предположил без доказательства, что все корни многочлена либо вещественные, либо комплексные.

Гаусс в 1799 году дал своё доказательство, однако использовал то же предположение, что и Эйлер; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё три доказательства, основанные на различных идеях, однако всегда привлекающие средства неалгебраического характера. Первое полное и строгое доказательство было представлено Жаном Арганом в 1814 году; в 1816 году строгое доказательство опубликовал и Гаусс.

Теорема Эйлера-Даламбера

Определение, углы Эйлера, уравнения

Движения НМС

Определение: Движение НМС, при котором одна ее точка остается неподвижной, называется движением НМС с одной неподвижной точкой или сферическим движением НМС.

Такое движение совершают, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры, плоскость и любое другое НМС, закрепленное в какой-либо точке шаровым шарниром.

Для того, чтобы найти параметры, определяющие положение НМС, т.е. обобщенные координаты, введем декартовы системы координат: неподвижную и подвижную Охуz с началом в неподвижной точке О (рис.

53).

Рис. 53

Подвижная система координат Охуz неизменно связана с НМС. Плоскость Оху пересекает плоскость по линии ОN, называемой линией узлов.

Положение подвижной системы координат относительно неподвижной определяет положение НМС в соответствующий момент времени.

Это положение определяется тремя углами: , которые называются углами Эйлера.

Угол y, называемый углом прецессии, определяет положение линии узлов ОN относительно неподвижной координатной оси . Его изменение характеризует вращение НМС с угловой скоростью относительно неподвижной координатной оси , называемой осью прецессии (рис. 54).

Угол q, называемый углом нутации, определяет положение подвижной плоскости Оху относительно неподвижной плоскости (положение подвижной оси Оz относительно неподвижной оси Оz). Его изменение характеризует вращение НМС с угловой скоростью относительно линии узлов ОN, называемой также осью нутации (рис. 55).

Угол j, называемый углом собственного вращения, определяет положение подвижной координатной оси Ох относительно линии узлов ОN. Его изменение характеризует вращение НМС с угловой скоростью относительно подвижной координатной оси Оz, называемой осью собственного вращения (рис. 56).

Следовательно, посредством трех последовательных независимых (что нетрудно доказать) поворотов НМС:

на угол y вокруг оси ,

на угол q вокруг оси ОN,

на угол j вокруг оси Оz

можно НМС вместе с неизменно связанной с ней подвижной системой координат Охуz, совмещенной первоначально с неподвижной системой координат , перевести в положение, которое соответствует текущему моменту времени t (рис. 56).

Таким образом, с помощью трех независимых друг от друга углов Эйлера, которые являются функциями времени и обобщенными координатами, определяется положение подвижной системы координат относительно неподвижной, а, следовательно, и положение НМС в любой момент времени.

y=y(t), q=q(t), j=j(t). (5.1)

Эти функции, являющиеся уравнениями движения НМС, должны быть однозначными, непрерывными и дважды дифференцируемыми функциями.

Рис. 54 Рис. 55

Рис. 56

Отметим, что углы Эйлера являются не единственным набором трех углов, описывающих сферическое движение НМС. На практике используются и другие наборы, например, углы Крылова или углы Крылова — Боголюбова.

Теорема Эйлера-Даламбера

Теорема: Перемещение НМС, имеющей одну неподвижную точку, из одного положения в другое можно осуществить одним поворотом НМС вокруг оси, проходящей через эту точку и называемую осью конечного поворота.

Траектории точек, принадлежащих НМС, имеющую одну неподвижную точку, лежат на концентрических сферах, центр которых совпадает с неподвижной точкой О, а радиус равен расстоянию от точек до неподвижной точки О (отсюда название – сферическое движение).

Положение НМС, имеющей неподвижную точку, относительно некоторой системы отсчета можно полностью определить положением сферической фигуры, получающейся в сечении НМС одной из вышеназванных сфер.

Положение на этой сфере сферической фигуры полностью определяется заданием на этой сферической фигуре двух точек или дуги большого круга, проходящей через эти точки. Поэтому доказательство теоремы Эйлера-Даламбера повторяет метод доказательства теоремы Шаля 2 – геометрического метода рассмотрения плоскопараллельного движения (п. 4.2) с той лишь разницей, что доказательство ведется не на плоскости с прямолинейным отрезком, а на сфере с дугой большого круга.

Доказательство:

Пусть дуги большого круга и определяют положение дуги на сферическом сечении НМС в моменты времени t1 и t2 соответственно (рис. 57).

Соединив точки B1 и D1 соответственно с точками В2 и D2 дугами большого круга, восстановим в серединах дуг и сферические перпендикуляры, касательные к которым перпендикулярны соответственно касательным, проведенным в серединах дуг и .

Эти сферические перпендикуляры пересекутся в точке O1 сферы. Ось ОO1 – неподвижная ось вращения.

Рис. 57

Так как = , а также равны сферические наклонные равноудаленные от сферических перпендикуляров: то сферический треугольник O1B1D1 равен сферическому треугольнику O1B2D2. Следовательно, сферический угол B1O1D1 равен сферическому углу B2O1D2.

После поворота сферического треугольника O1B1D1 вокруг оси ОO1 на сферический угол D1O1D2 дуга большого круга совпадет с дугой большого круга , так как сферические углы D1O1D2 и В1O1В2 равны:

Таким образом, перемещение дуги большого круга (следовательно, и НМС) из положения в положение осуществлено одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку О.

Добавить комментарий

Закрыть меню