Теорема о площади квадрата

Доказательство

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2 равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n2. Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a.

Итак,

S = 1/n2 = (1/n)2 = a2. (1)

Пусть теперь число aпредставляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0). Тогда число m = a · 10n целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m2 равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10n) = 1/10n.

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10n)2. Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m2 · (1/10n)2 = (m/10n)2 = ((a · 10n)/10n)2 = a2.

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число an, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число a отличается от an не более чем на 1/10n, то an ≤ a ≤ an + 1/10n, откуда

an2 ≤ a2 ≤ (an + 1/10n)2. (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной an и площадью квадрата со стороной an + 1/10n:

т. е. между an2 и (an + 1/10n)2:

an2 ≤ S ≤ (an + 1/10n)2. (3)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (an + 1/10n)2 будет сколь угодно мало отличаться от числа an2. Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a2. Следовательно, эти числа равны: S = a2, что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

Добавить комментарий

Закрыть меню