Сходимость степенных рядов

Степенные и функциональные ряды могут быть сходящимися на множестве действительных чисел, на определенном интервале, или быть расходящимися. Установка радиуса сходимости и области сходимости ряда является важным при исследовании рядов. Радиус сходимости равный половине ширины области сходимости. На практике обе характеристики найти не трудно и Вы в этом скоро убедитесь.
Пример: 3.6Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
а)
Вычисления: Для оценки сходимости ряда составим ряд с модулей членов заданного ряда, то есть ряд с последующим общим членом

Далее, исходя с того что полученный ряд имеет положительные члены — исследовать его на сходимость будем с помощью признака Даламбера:

Для этого выписываем следующий после общего член ряда

и подставляем в формулу предела. Вид членов ряда непрост, поэтому будьте внимательны при упрощении предела


Наконец приходим к экспоненте и функциональному множителю.
Если граница меньше единицы

то ряд сходится по теореме Даламбера, причем абсолютно.
Отсюда составляем ограничения на допустимые «иксы»

— область сходимости ряда.
Итак, ми нашли — радиус сходимости и
— область сходимости ряда в виде интервала.
Для себя запомните, что радиус сходимости функционального ряда равен половине расстояния между крайними точками области сходимости.

б)
Вычисления: Составим ряд из модулей членов заданного ряда, то есть с общим членом
Нетрудно видеть что такой прием позволяет получить ряд с положительными членами и при этом исследовать его на сходимость с помощью признака Даламбера.
Для предела нам еще нужен следующий член ряда
Подставляем члены ряда в предел и вычисляем
При пределе меньшей единицы — ряд убывает за Даламбером.
Из этого условия находим
— область сходимости в виде ограничений переменной.
В итоге мы нашли R=4 — радиус сходимости ряда и его область сходимости
Пример: 3.11Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда:
а)
Вычисления: Члены заданного функционального ряда
определены на всей действительной оси, то есть область определения следующая
Составляем ряд из модулей членов заданного ряда
Его общий член может бить выражен формулой
Поскольку новый ряд имеет положительные члены — исследуем на сходимость по Даламберу:
При — ряд совпадает по теореме Даламбера, то есть необходимо, чтобы выполнялись условия
Отсюда находим R = 2 — радиус сходимости ряда и (0; 4) — область сходимости.
б)

Вычисления: Члены заданного функционального ряда
определены для всех действительных переменных то есть область определения следующая
Составим ряд из модулей членов заданного ряда
Снова применяем признак Даламбера для исследования ряда на сходимость
За Даламбером при пределе меньше единицы — ряд убывает.
Отсюда находим область сходимости
и R=1/3 радиус сходимости. Из приведенных примеров
Вы могли увидеть такую закономерность что значение которое ограничивает модуль с переменной и является радиусом сходимости ряда.
Область сходимости имеет в два раза большую длину и определяется раскрытием модуля.
Пример: 3.17Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
а)
Вычисления: Члены функционального ряда
определены при то есть
Составим ряд из модулей членов заданного ряда
то есть
Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Выписываем следующий после общего члена ряда
и подставляем в предел
При 3|x|<1 — ряд убывает,
отсюда находим
– область сходимости ряда.
Все что находится справа от модуля это R = 1/3 — радиус сходимости ряда, а ограничения на «икс»
– это область сходимости.
б)
Вычисления: Члены функционального ряда
определены на всей действительной прямой , их область определения имеет вид .
По схеме составляем ряд из модулей членов заданного ряда
и получаем ряд со следующим общим членом
Образованный ряд будем анализировать на сходимость по признаку Даламбера
Выписываем следующий член ряда
и подставляем в предел
При 2|x|<1- ряд будет сходящимся.
Раскрываем модуль и находим
— область сходимости и R=1/2 – радиус сходимости.
В виде интервала записываем область сходимости ряда
Пример: 3.27Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда
а)
Вычисления: Члены функционального ряда определены на действительной оси
Сначала составим ряд из модулей членов этого ряда
Общий член задается формулой
Исследуем ряд с модулей на сходимость по признаку Даламбера:
Находим предел отношения следующего члена ряда общему
Поскольку A=0<1 то ряд сходится при всех действительных переменных, то есть имеет неограниченную — область сходимости.
Ряд имеет бесконечный радиус сходимости.
б)
Вычисления: Члены ряда определены на множестве действительных чисел
Построим ряд с модулей членов ряда:
Далее записываем общий и следующий после него члены ряда
и подставляем в предел
По теореме Даламбера ряд сходится при
3|x|<1. Из этого условия определяем
— область сходимости ряда
и R=1/3 – радиус сходимости.
В виде интервала записываем в ответ область сходимости
Теперь Вы знаете как найти область сходимости и радиус сходимости ряда. Пользуйтесь приведенными формулами и успешной Вам сдачи сессии.

Область сходимости степенного ряда.

Степенной ряд имеет вид: (все параметры комплексные). В дальнейшем без ограничения общности:

Теорема (Первая теорема Абеля).Если ряд (*) сходится в точке , то он сходится равномерно внутри круга:

Доказательство. Имеем (общий член ряда ; необходимое условие сходимости ряда). В частности, . Фиксируем И рассмотрим: (любой круг строго меньший). Тогда убывающая геометрическая прогрессия (по признаку сравнения ряд сходится тогда равномерно).

Следствие.Областью сходимости степенного ряда является некоторый круг. Назовём — радиусом сходимости.

Замечание. Не исключаются случаи, когда R = 0 (расходится везде кроме одной точки) или (везде сходится).

Пример. 1) расходится везде кроме 0.

2)

3) по признаку Деламбера, сходящийся ряд.

Замечание. На границе области сходимости поведение ряда может быть любым.

Пример. R = 1 – единичная окружность.

1) расходится на единичной окружности.

2) на единичной окружности.

3) сходится абсолютно и равномерно на единичной окружности.

4) сходится условно во всех точках на окружности.

Теорема (Формула Коши-Адамара).Радиус сходимости вычисляется так:

Доказательство. 1) Пусть . Мы должны доказать, что ряд тогда сходится. Напишем: , тогда начиная с некоторого номера: а тогда по признаку сравнения ряд сходится.

2) Пусть . Мы должны доказать, что ряд тогда расходится. подпоследовательность натурального ряда.

по признаку сравнения ряд расходится.

Утверждение.1) Степенной ряд сходится к функции, голоморфной в круге сходимости.

2) Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы. .

Доказательство. 1) По первой теореме Абеля ряд сходится равномерно внутри круга сходимости. По первой теореме Вейерштрасса его сумма голоморфна, следовательно всё клёво.

2) По первой теореме Вейерштрасса можно ряд дифференцировать почленно. Т.е. . Подставим

Утверждение (Переформулировка).В степенной ряд можно разложить только голоморфную функцию, при этом единственным образом – только в ряд Тейлора.

Пример. нельзя разложить в степенной ряд в окрестности 0. Т.к. она не голоморфна в 0.

Теорема (Вторая теорема Абеля).Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится равномерно на .

Задание 6.9. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Для данного степенного ряда вида , , , x0 = -2. Определим радиус сходимости ряда . Таким образом, ряд сходится в интервале (x0 — R, x0 + R), т.е. (-2-5;-2+5) или (-7;3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Возьмем x=3. Получим числовой ряд .

Предел общего члена этого ряда , следовательно, ряд расходится. При x = -7 получим знакочередующийся ряд , для которого не выполняется признак сходимости Лейбница . Значит, и при x = -7 данный степенной ряд расходится. Таким образом, исходный степенной ряд сходится в интервале .

Замечание. Область сходимости степенного ряда можно находить и как для произвольного функционального ряда . В этом примере . По признаку Д’аламбера

. Отсюда . Далее, как и выше, последует сходимость в точках и .

Задание 6.10. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение. Искомое разложение можно найти с помощью формулы

,

положив в ней и вычислив значения производных функции при . Но проще получить разложение, используя известное разложение для функции

,

в котором ряд справа сходится к функции в интервале (-1,1).

Представим . Применяя указанное разложение, получим

Так как, ряд, который использовали для разложения, сходится для , то данный ряд сходится для , отсюда . Таким образом, полученный степенной ряд является рядом Тейлора функции в окрестности точки и его областью сходимости является интервал (-6,0).

Задание 6.11. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001.

Решение. Воспользуемся рядом Маклорена для , тогда .

Почленно интегрируя этот ряд в промежутке , получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность, происходящая от отбрасывания всех членов ряда, начиная с четвертого , поэтому, чтобы достичь требуемой точности достаточно взять три первых слагаемых

Задание 6.12. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию

=

Решение.

Вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для данной функции запишется в виде

Задание 6.13. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в интервале (0; ), продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом. Построить графики для каждого продолжения.

Решение. Продолжим данную функцию четным образом. Тогда:

Найдем неопределенный интеграл выполнив дважды интегрирование по частям:

Вычислим коэффициенты :

Следовательно, разложение данной функции по косинусам имеет вид:

Теперь продолжим данную функцию нечетным образом. Тогда:

Следовательно, разложение данной функции по синусам имеет вид:

Задание 6.14. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию

Решение. Вычисляем коэффициенты

В итоге получаем следующий ряд Фурье:

Расчет экспоненциального роста сложных процентов по функции РЯД.СУММ в Excel

Пример 3. В банк был сделан депозит под 15% годовых на некоторую сумму с непрерывным увеличением процентов на 5 лет. Определить показатель роста инвестиций с использованием разложения в степенной ряд.

Для расчета параметра роста можно использовать функцию y=ex.

Как известно, ее можно разложить в ряд Маклорена следующим способом:

Для расчета коэффициентов можно использовать формулу an=1/n!. Заполним таблицу исходных данных:

Значение x рассчитано как произведение ставки и времени действия договора. А расчета коэффициента такой же, как и в предыдущем примере: =1/ФАКТР(2), (3), (4)…

Предположим, данного количества коэффициентов достаточно для расчета. Используем следующую функцию:

=РЯД.СУММ(E2;F2;G2;D2:D6)

Полученное значение:

Проверим результат с использованием функции EXP:

Рассчитаем погрешность по формуле:

=ABS(1-B5/B4)

Полученный результат:

Начальная сумма вклада увеличится примерно в 2,12 раза. Значения членов степенного ряда, на который была разложена функция y=ex, убывают по мере роста показателя степени, демонстрируя, как по мере уменьшения временных интервалов снижается показатель роста. То есть, «старший» член ряда делает меньший «вклад» в общую сумму.

Особенности использования функции РЯД.СУММ в Excel

Функция имеет следующую синтаксическую запись:

=РЯД.СУММ(x; n; m;коэффициенты)

Описание аргументов (все являются обязательными для заполнения):

  • x – числовое значение, характеризующее переменную величину степенного ряда;
  • n – числовое значение, которое характеризует показатель степени переменной x для первого члена ряда;
  • m – числовое значение, характеризующее изменение показателя степени n переменной от первого члена ряда к последующим членам. Например, если m принимает значение 1, то для второго члена показатель степени равен n+(2-1)*1, третьего – n+(3-1)*1 (то есть, n+2), а для i-го члена показатель степени переменной рассчитывается как n+(i-1)*1;
  • коэффициенты – одно или несколько числовых значений, характеризующие значения коэффициентов a1, a2, a3,…,ai в выражении a1xn+a2x(n+m)+a3x(n+2m)+…+aix(n+(i-1)m).

Примечания 1:

  1. Любой аргумент рассматриваемой функции должен быть представлен данными числового типа, именем или текстовой строкой, преобразуемыми в число. Если один или несколько аргументов функции РЯД.СУММ принимают значения не преобразуемых к числовым значениям типов данных, результатом выполнения данной функции будет код ошибки #ЗНАЧ!.
  2. Функция не выполняет автоматического преобразования логических ИСТИНА и ЛОЖЬ к числовым данным 1 и 0 соответственно. Запись типа =РЯД.СУММ(ИСТИНА;1;1;1) вернет код ошибки #ЗНАЧ!.
  3. Аргумент коэффициенты может принимать одно или несколько значений в форме диапазона ячеек или массива данных (например, =РЯД.СУММ(1;2;1;A1:A8), или =РЯД.СУММ(1;1;1;{1;2;3;4;5}). Количество элементов массива, переданного в качестве аргумента коэффициенты, или число ячеек в переданной ссылке на диапазон регламентирует количество членов степенного ряда, сумму которых вычисляет рассматриваемая функция.
  4. Функция РЯД,СУММ не может быть использована в качестве формулы массива. Например, выражение типа =РЯД.СУММ(A1:A4;1;1;{1;2;3;4}) вернет диапазон из четырех ячеек с кодами ошибки #ЗНАЧ!.

Примечания 2:

  1. Степенным рядом является выражение типа f(x)=∑n=0∞=0anxn, где значения коэффициентов a принадлежат определенному диапазону величин (алгебраическому кольцу R).
  2. Одной из основных характеристик числового ряда является его сходимость (или расходимость). Сходимым рядом является последовательность, сумма членов которой является конечной величиной. Соответственно, если ряд расходится, это означает, что сумма бесконечного числа его членов является бесконечной величиной. Примером сходимого ряда может служить сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  3. Для упрощенного представления (аппроксимации) существуют различные методы их разложения на степенные ряды. Нахождение суммы определенного количества членов такого ряда позволяет добиться довольно точного результата. При этом последующие члены представляют собой настолько малые величины, что ими можно пренебречь при расчете общей суммы членов.

Добавить комментарий

Закрыть меню