Решение задач с параметром

Задача 18: уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 18:

  • Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
  • Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 18 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
  • Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный.

    Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности§ 2. Как решать задачу 18: графический подход§ 3. Задача 18: две окружности и модуль§ 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля§ 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром.Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение§ 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами§ 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантовГлава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней § 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18? § 3. Метод мажорант в задаче 18 § 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем § 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений § 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 § 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков § 8. Продвинутый метод симметричных корней § 9. Новая задача 18 с графическим решением Функции с параметром 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Уравнения с параметром 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 Неравенства с параметром 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 Системы с параметром 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197

В учебниках определения параметра нет, в толковых словарях оно дается неоднозначно. Нас же будет интересовать значение термина «параметр» с точки зрения математики. «Параметр (гр. Parametron-отмеривающий) – математическая величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. Переменные а, b, c, …, k, которые при решении заданий считаются постоянными, называются параметрами, а сами задания называются заданиями, содержащими параметры» То есть, если в уравнении (неравенстве), некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Например,

, ,

и т.д.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Как начинать решать такие задачи?

И что означает «решить параметрическую задачу»? Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства: привести заданное уравнение (неравенство) к более простому виду, например, разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д. Решая такие задания нужно множество раз обращаться к его текстовой части с целью выполнения сформулированного там условия.

Проще говоря, решить задачу с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Каковы основные типы задач с параметрами?

1. Уравнения (неравенства), которые надо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Например: При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?

2. Уравнения (неравенства), для которых необходимо определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Например: При каких уравнение имеет ровно три корня?

3. Уравнения (неравенства), для которых требуется найти все значения параметра, при которых указанные уравнения (неравенства) имеют заданное число решений ( или не имеют решений, или имеют бесконечно много решений).

Например: Найдите все значения параметра а при каждом из которых уравнение -13а+5 имеетровно два корня.

4. Уравнения (неравенства), для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например: При каких значениях уравнение имеет ровно одно решение на промежутке

Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ применения стандартных операций при решении уравнений (неравенств) без параметра, он же, на мой взгляд, и самый трудный. При решении заданий аналитическим способом требуется знать большой объем математической информации и уметь грамотно это применять.

Привем решение задания с параметром, которое решается аналитическим способом:

    Найдите все значенияа, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим функции и

Функция

1.Пусть , тогда (раскрываем модуль со знаком минус) , . Получаем, что угловой коэффициент функции равен 4 либо 12, (так как может быть одинаковый знак в зависимости от числа х.) При таких значениях график функции возрастает (так как коэффициент больше 0)

2.Пусть , тогда , Получаем, что угловой коэффициент функции равен -4 либо -12. При таких значениях график функции убывает (так как коэффициент меньше 0)

3.При х=0, тогда Получаем, что = Функция возрастает при и убывает при , поэтому =

Исходное уравнение имеет один корень, когда

откуда , либо , где а=-5.

Ответ: -5,

Способ II (графический). Наиболее понятный и очень наглядный способ решения. Суть его заключается в том, что в зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a). Естественно, что для этого просто необходимо знать типы элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические), их свойства и графики (кстати, в ВУЗах эта тема в курсе высшей математики изучается одной из первых) Использование графического способа даже схематически помогает найти решение задачи. Решая задания графическим способом, я сделала следующее наблюдение: если в правой и левой части уравнения (неравенства) находятся функции разных типов, то можно смело утверждать, что решение аналитическим способом такой задачи бессмысленно, не нужно тратить на него время, а лучше сразу же создать графическую иллюстрацию задания. Наглядно и быстро!

Приведу пример задания 18 ЕГЭ, которое очень легко решается этим способом:

    Найдите все значенияа, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Запишем уравнение в виде и рассмотрим две функции и .

Рассмотрим функцию , преобразовывая подкоренное выражение, получим:

. Таким образом, получаем.функцию, графиком которой является полуокружность с радиусом 2 в центре с точкой (-1;0), лежащей в верхней полуплоскости.

Графиком функции является прямая с угловым коэффициентом -а, проходящая через точку М (4;2)

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций имеют одну общую точку (т.е. прямая касается или пересекает полуокружность в единственной точке).

Рассмотрим рисунок: 1. Прямая МС является касательной к полуокружности, следовательно, МС и полуокружность пересекаются в единственной точке. Так как МС параллельна оси ОХ ( У точки М (4,2) и С(-1,2)), то угловой коэффициент равен нулю. Таким образом, найдено первое значение а=0, при котором уравнение имеет один единственный корень.

2. Проведем прямую через точки М(4;2) и А(-3;0) ( так как координаты известны). Прямая МА пересекает график полуокружности в двух точках, но такая ситуация не удовлетворяет условию задачи. Поэтому надо найти значения углового коэффициента, при которых вышеназванное условие не выполняется. Чтобы найти значения –а подставим координаты точек М и А в функцию.

-4а+16а+2=2 3а+4а+2=0

12а=0 7а=-2

а=0. а=

Получаем, -а=0 и а=.

При условии прямые имеют с графиком две общие точки, а это не удовлетворяет условию задачи.

3. Проведем прямую МВ через точки М(4;2) и В(1;0). Чтобы найти значения –а подставим координаты точек М и А в функцию.

3а+4а+2=0 -а+4а+2=0

7а=-2 3а=-2

а= а =

Получаем –а= и –а=. При условии прямые имеют с графиком одну общие точки и это удовлетворяет условию задачи.Ответ: а=0,

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После проведенных упрощений возвращаются к исходному смыслу переменных x и a и заканчивают решение.

Ниже представлено решение параметрического задания данным способом:

3.При всех значениях параметра а решить уравнение: |х + 3| — a|x – 1| = 4.

Найдем значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в ноль. Получили х= -3 и х=1. Разобьем числовую прямую на 3 части полученными точками и решим 3 системы: 1) , если . Найденный будет решением, если .

2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же , то решением является любой .

В данной работе рассмотрены способы и приёмы решения задач с параметром. По нашему мнению наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметром.

Литература

    Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами.

Добавить комментарий

Закрыть меню