Решение уравнения методом ньютона

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(5.1)

С действительными левыми частями. Систему (5.1) можно представить в матричном виде

(5.2)

Здесь приняты следующие обозначения:

— вектор аргументов, а — вектор – функция.

Для решения системы (5.2) воспользуемся методом последовательных приближений. Предположим, что найдено Р-ое приближение Xp= (X1(P), X2(P) , …, Xn(P)) одного из изолированных корней X = (X1, X2, X3, …, Xn) векторного уравнения (5.2). Тогда точный корень уравнения (5.2) можно представить в виде

(5.3)

Где — поправка (погрешность) корня на N – ом шаге.

Подставив выражение (5.3) в (5.2), получим

(5.4)

Предположим, что функция F(X) — непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей X и X(P). Тогда левую часть уравнения (5.4) разложим в ряд Тейлора по степеням малого вектора ε(P), ограничиваясь линейными членами:

, (5.5)

Или в развернутом виде:

(5.6)

Из анализа формул (5.5) и (5.6) следует, что под производной F¢(X) следует понимать матрицу Якоби системы функций F1 , F2, …, Fn, относительно переменных X1, X2, X3, …, Xn, то есть:

. (5.7)

Выражение (5.7) в краткой записи можно представить:

(5.8)

Выражение (5.6) представляет собой линейную систему относительно поправок (I = 1, 2, …, N) с матрицей W(X), поэтому формула (5.5) может быть записана в следующем виде:

(5.9)

Отсюда, предполагая, что матрица W(X(P)) — неособенная, получим:

(5.10)

Теперь, подставив выражение (5.10) в формулу (5.3), окончательно получим:

(5.11)

Таким образом, получили вычислительную формулу (метод Ньютона), где в качестве нулевого приближения X(0) можно взять приближенное (грубое) значение искомого корня.

Пример 5.1. Рассмотрим применение метода Ньютона на примере системы двух нелинейных уравнений

(5.12)

Прежде чем разбирать конкретные шаги по решению системы (5.12), распишем в общем виде якобиан для системы из двух уравнений

Здесь A, B, C, D – функционалы от переменных X1, x2. Нас фактически интересует W-1. Пусть матрица W- неособенная, тогда обратная матрица вычисляется

Теперь вернемся к системе (5.12). Графическое решение этой системы дает две точки пересечения: М1 (1.4; -1.5) и М2 (3.4; 2.2). Зададим начальное приближение:

Используя формулу (5.11), получим:

Аналогично получим:



Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона, приведены подробные алгоритмы применения данных методов, а также проведен сравнительный анализ указанных методов.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии.

Цель работы: изучить методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным и апробировать их в опытно-экспериментальной работе.

Задачи работы:

  1. Проанализировать специальную литературу и выбрать наиболее рациональные способы решения нелинейных уравнений, позволяющие глубоко изучить и усвоить данную тему всем выпускникам средней школы.
  2. Разработать некоторые аспекты методики решения нелинейных уравнений с применением ИКТ.
  3. Изучить методы решения нелинейных уравнений:

‒ Шаговый метод

‒ Метод деления пополам

‒ Метод Ньютона

‒ PTC Mathcad

Введение.

Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения задач по физике, химии, биологии и другим предметам. Весь комплекс естественных наук построен и развивается на базе математических знаний. Например, исследование ряда актуальных задач математической физики приводит к необходимости решения нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений необходимо в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости и физике низких температур. По этой теме есть достаточное количество литературы, но во многих учебниках и статьях трудно разобраться ученику средней школы. В данной работе рассмотрены методы решения нелинейных уравнений, которые можно использовать при решении прикладных задач физики, химии. Интересным представляется аспект применения информационных технологий к решению уравнений и задач по математике.

Шаговый метод.

Пусть требуется решить нелинейное уравнение вида уравнение F(x)=0. Предположим также, что нам задан некоторый интервал поиска . Требуется найти интервал длиной h, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.

Рис. 1. Шаговый метод

Решить подобную задачу можно несколькими способами. Шаговый метод является наиболее простым из численных методов решения неравенств, но для достижения большой точности необходимо существенно уменьшить шаг, а это сильно увеличивает время расчётов. Алгоритм решения уравнений с помощью данного метода состоит из двух этапов.

I этап. Отделение корней.

На этом этапе определяются участки, на каждом из которых находится только один корень уравнения. Есть несколько вариантов реализации этого этапа:

  • Подставляем значения X (желательно с каким-то достаточно мелким шагом) и смотрим где функция сменит знак. Если функция сменила знак, это значит, что на участке между предыдущим и текущим значением X лежит корень (если функция не меняет характер возрастания/убывания, то можно утверждать, что корень на этом интервале один).
  • Графический метод. Строим график и оцениваем на каких интервалах лежит один корень.
  • Исследуем свойства конкретной функции.

II этап. Уточнение корней.

На данном этапе значение корней уравнения, определенных ранее, уточняется. Как правило на этом этапе используются итерационные методы. Например, метод половинного деления (дихотомии) или метод Ньютона.

Метод половинного деления

Быстрый и достаточно простой численный метод решения уравнений, основанный на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность Е. Данный метод обычно используется при решении квадратных уравнений и уравнений высших степеней. Однако у данного метода есть существенный недостаток — если на отрезке содержится более одного корня, то с его помощью не удастся добиться хороших результатов.

Рис. 2. Метод дихотомии

Алгоритм данного метода следующий:

‒ Определить новое приближение корня х в середине отрезка : х=(а+b)/2.

‒ Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

‒ Проверить условие F(a)*F(x)

‒ Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам. Алгоритм продолжить до того времени, пока не будет выполнено условие |F(x)|

Метод Ньютона

Самый точный из численных методов решения; подходит для решения очень сложных уравнений, но усложняется необходимостью вычисления производных на каждом шаге. заключается в том, что если xn— некоторое приближение к корню уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции f(x), проведенной в точке xn.

Уравнение касательной к функции f(x) в точке xnимеет вид:

В уравнении касательной положим y = 0 и x = xn+1.

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.

Таким образом, сходимость метода касательных Ньютона очень быстрая.

Без всяких изменений метод обобщается на комплексный случай. Если корень xiявляется корнем второй кратности и выше, то порядок сходимости падает и становится линейным.

К недостаткам метода Ньютона следует отнести его локальность, поскольку он гарантированно сходится при произвольном стартовом приближении только, если везде выполнено условие , в противной ситуации сходимость есть лишь в некоторой окрестности корня.

Метод Ньютона (метод касательных) обычно применяется в том случае, если уравнение f(x) = 0 имеет корень , и выполняются условия:

1) функция y= f(x) определена и непрерывна при ;

2) f(a)·f(b) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );

3) производные f'(x) и f»(x) сохраняют знак на отрезке (т. е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке , сохраняя при этом направление выпуклости);

4) .

Смысл метода заключается в следующем: на отрезке выбирается такое число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и f»(x0), т. е. выполняется условие f(x0)·f»(x) > 0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x0, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке пересекает ось Ox. За точку x0 сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x2–2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f ‘(x) =2x>0 и f »(x) = 2> 0.

В нашем случае уравнение касательной имеет вид: y-y0=2×0·(x-x0). Вкачестве точки x0 выбираем точку B1(b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B1, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x1. Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Точка пересечения касательной и оси Ox: x1 =

Рис. 3. Построение первой касательной к графику функции f(x)

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x1, получаем точку В2 =(1.5; 0.25). Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В2, и обозначаем точку пересечения касательной и Ox точкой x2.

Уравнение второй касательной: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x — 4.25. Точка пересечения касательной и оси Ox: x2 = .

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x2, получаем точку В3 и так далее.

В3 = ()

Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x)

Первое приближение корня определяется по формуле:

= 1.5.

Второе приближение корня определяется по формуле:

=

Третье приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i-ое приближение корня определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e — до выполнения неравенства |xi-xi-1|

В нашем случае, сравним приближение, полученное на третьем шаге с реальным ответом. Как видно, уже на третьем шаге мы получили погрешность меньше 0.000002.

Решение уравнения при помощи САПР MathCAD

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в MathСAD находится с помощью функции root.

root(f(х1, x2, …), х1, a, b)— возвращает значение х1, принадлежащее отрезку , при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Рис. 5. Решение нелинейного уравнения в MathCAD (функция root)

Если в результате применения данной функции возникает ошибка, то это может означать, что уравнение не имеет корней, или корни уравнения расположены далеко от начального приближения, выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

Чтобы установить причину ошибки, необходимо исследовать график функции f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f(x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет найдено его точное значение.

Если начальное приближение неизвестно, то целесообразно использовать функцию solve. При этом если уравнение содержит несколько переменных, нужно указать после ключевого слова solve список переменных, относительно которых решается уравнение.

Рис. 6. Решение нелинейного уравнения в MathCAD (функция solve)

Заключение

В ходе исследования были рассмотрены как математические методы, так и решение уравнений с использованием программирования в САПР MathCAD. Различные методы имеют свои достоинства и недостатки. Следует отметить, что применение того или иного метода зависит от начальных условий заданного уравнения. Те уравнения, которые хорошо решаются известными в школе методами разложения на множители и т. п., не имеет смысла решать более сложными способами. Прикладные задачи математики, важные для физики, химии и требующие сложных вычислительных операций при решении уравнений успешно решаются, например, с помощью программирования. Их же хорошо решать методом Ньютона.

Для уточнения корней можно применять несколько методов решения одного и того же уравнения. Именно это исследование и легло в основу данной работы. При этом легко проследить, какой метод наиболее удачен при решении каждого этапа уравнения, а какой метод на данном этапе лучше не применять.

Изученный материал, с одной стороны, способствует расширению и углублению математических знаний, привитию интереса к математике. С другой стороны, задачи реальной математики важно уметь решать тем, кто собирается приобрести профессии технического и инженерного направления. Поэтому данная работа имеет значение для дальнейшего образования (например, в высшем учебном заведении).

Литература:

  1. Митяков С. Н. Информатика. Комплекс учебно-методических материалов. — Н. Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т.,2006
  2. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. — 527 с.
  3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов — М.: Наука, 1986.
  4. Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Математика: учебное пособие. — Ростов н/Д.: Феникс, 2005.
  5. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989.
  6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математики для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1973.
  7. Кирьянов Д. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. — С-Пб.: БХВ-Петербург, 2012.
  8. Черняк А., Черняк Ж., Доманова Ю. Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс. — С-Пб.: БХВ-Петербург, 2004.
  9. Поршнев С., Беленкова И. Численные методы на базе Mathcad. — С-Пб.: БХВ-Петербург, 2012.

Вернуться на страницу <Методические разработки>

В начало

Решение систем нелинейных уравнений

В отличие от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнений не известны прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно.

Например, для системы из двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного. Поэтому итерационные методы для нелинейных систем приобретают особую актуальность.

Метод Ньютона.

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(23)

или в векторной форме

где

f

x

Для решения системы (23? ) будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, известно k-е приближение

(k) =

одного из изолированных корней x= векторного уравнения (23 ‘). Тогда точный корень уравнения (23’) можно представить в виде

где Dx(k) = — поправка (погрешность корня).

Подставляя выражение (24) в (23′), будем иметь

(x(k) + Dx(k))= 0.

(25)

Предполагая, что функция f (x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x(k), разложим левую часть уравнения (25) по степеням малого вектора Dx(k) , ограничиваясь линейными членами,

(x(k) + Dx(k))= f (x(k)) + f ?(x(k)) Dx(k) = 0

(26)

или, в развернутом виде,

(26′)

Из формул (26) и (26′) вытекает, что под производной f'(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций f1, f2, …, fn относительно переменных x1, x2, …, xn, т. е.

‘ (x) = W(x) =,

или в краткой записи

‘ (x) = W(x) = (i, j = 1, 2, …, n).

Поэтому формула (26) может быть записана в следующем виде:

(x(k)) + W(x(k)) Dx(k) = 0

Еслиdet W(х) =, то Dx(k) = — W -1(x(k)) f(x(k)).

Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы (23) состоит в построении итерационной последовательности:

(k + 1) = x(k)- W -1(x(k)) f (x(k)) (k = 0, 1, 2, …).

(27)

Если все поправки становятся достаточно малыми, счет прекращается. Иначе новые значения xiиспользуются как приближенные значения корней, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение или не станет ясно, что получить его не удастся.

Пример

9. Методом Ньютона приближенно найти положительное решение системы уравнений

исходя из начального приближения x0 = y0 = z0 =0,5.

Полагая:

х

(0) =, f(х) =,

имеем:

(х) =

Отсюда

(х(0) ) =

Составим матрицу Якоби

(x) =

Имеем

(х(0) ) = , причем D = det W(х(0) ) =

Следовательно, матрица W(х(0) ) — неособенная. Составим обратную ей матрицу

-1(х(0) ) =

По формуле (27) получаем первое приближение

х

Похожие главы из других работ:

Вычислительная математика

2.3 Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)

Метод деления отрезка пополам является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения. Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения (2.1) находится на отрезке , т. е. x*, так, что f(x*) = 0…

Вычислительная математика

2.5 Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень x* , так, что f(a)f(b) < 0.

Предполагаем, что функция f(x) непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Положим x0 = b…

Вычислительная математика

2.6 Метод секущих (метод хорд)

В этом и следующем разделе рассмотрим модификации метода Ньютона. Как видно из формулы (2.13), метод Ньютона требует для своей реализации вычисления производной, что ограничивает его применение. Метод секущих лишен этого недостатка…

Линейное и нелинейное программирование

3.1.2 Метод поиска по координатной сетке с постоянным шагом и метод случайного поиска. Сравнение результатов вычислений

Метод поиска глобального минимума, называемый методом поиска по координатной сетке, является надежным, но применим только для задач малой размерности (n<4). Неправильный выбор начального шага сетки может привести к тому…

Линейное и нелинейное программирование

3.3.3 Метод наискорейшего спуска (метод Коши)

Итерация 1. Счет итераций k = 0 Итерация 2. Счет итераций k = 1 Поиск завершен 3.3…

Математика и современный мир

4. Аксиоматический метод

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод Аксиоматический метод, способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики)…

Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач

3.2 Метод прямоугольников

Теоретические сведения Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке . Нам требуется вычислить определенный интеграл. Так же как в методе парабол разбиваем отрезки. Суть метода прямоугольников заключается в том…

Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач

3.3 Метод Трапеций

Теоретические сведения Пусть нам требуется вычислить определенный интеграл, где y = f(x) непрерывна на отрезке . Разобьем отрезок на n равных интервалов длины h точками. В этом случае шаг разбиения определяется так же как в методе парабол…

Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач

4.1 Метод Гаусса

Теоретические сведения Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами: · во-первых…

Системный анализ групп преобразований состояний кубика Рубика

3.4.3 Метод CFOP (метод Джессики Фридрих)

CFOP — это название четырёх стадий сборки(рисунок 3.2): Cross, F2L, OLL, PLL: 1) Cross — сборка креста…

Системы линейных уравнений

1.2.2 Метод Крамера

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы…

Системы линейных уравнений

1.2.3 Метод Гаусса

Метод Гаусса основывается на следующей теореме: элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы отвечает превращение этой системы в эквивалентную. С помощью элементарных преобразований строки расширенной матрицы…

Способы решения функциональных уравнений

4.2 Метод подстановок

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным…

Тригонометрические уравнения

2.1 Алгебраический метод

Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки). Пример 1…

Численные методы решения трансцендентных уравнений

6. Метод Ньютона (Метод касательных, линеаризации)

Пусть уравнение (1) имеет корень на отрезке , причем f (x) и f «(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем интервале . Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной…

Добавить комментарий

Закрыть меню