Решение логических задач

Основные виды логических задач и способы их решения.

Логические задачи – это неотъемлемая часть сегодняшнего дня. Они не покидают ученика в течение всего обучения в школе и прощаются с ним при сдаче Единого Государственного экзамена.

Есть люди, для которых решение логической задачи — увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Замечательно, что при этом он и не могут объяснить, как они пришли к решению. «Ну это же очевидно, ясно», — говорят они. «Ведь если … » — и они начинают легко распутывать клубок противоречивых высказываний. «Действительно, все ясно», — говорит слушатель, огорченный тем, что он сам не увидел очевидного рассуждения.

Согласитесь, что такое же ощущение часто возникает при чтении детективов.

В своей педагогической практике я не раз сталкивалась с тем, что эти задачи вызывают массу трудностей у школьников. Чтобы помочь справиться с этими задачами, мною была организованна инициативная группа учащихся по изучению типов логических задач и способов их решения. Целью работы нашей является изучение видов логических задач и методов их решения .

Для достижения цели нам необходимо решить следующие задачи:

  1. Познакомиться с основными видами логических задач;
  2. Изучить методы решения логических задач
  3. Подготовить подборку наиболее интересных задач для успешной сдачи государственного экзамена

Итак, мы узнали, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения.

В результате проведенной работы мы выяснили, что все логические задачи делятся на определенные группы:

  • Истинноностные задачи
  • Задачи, решаемые с конца
  • Задачи на переливание
  • Задачи на взвешивание
  • Задачи типа «Кто есть кто?»
  • Задачи на пересечение и объединение множеств
  • Математические ребусы

При решении задач этих групп на уроках математики в СОШ № 20 с учащимися 5-9 классов нами было выявлено, что каждая группа задач имеет свой оптимальный метод решения:

Истинноностные задачи При решении задач данного типа лучше всего использовать метод рассуждений. Он позволяет проводить рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходить к выводу, который и будет являться ответом задачи.
Задачи на пересечение и объединение множеств Это тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Метод Эйлера является незаменимым при решении задач этого типа, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие.
Задачи на переливание При решении текстовых логических задач на переливание применяется метод построения таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи
Задачи на взвешивание В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Задачи данного типа чаще всего решаются методом рассуждений.
Математические ребусы Записи восстанавливаются на основании логических рассуждений. При этом нельзя ограничиваться отысканием только одного решения. Испытание нужно доводить до конца, чтобы убедиться, что нет других решений, или найти все решения.
Задачи, решаемые с конца Такие задачи очень часто ребята задают друг другу в виде головоломок на задуманное число. Задачи решаются методом математических вычислений, основанных на конечном результате в условии .
Задачи типа «Кто есть кто?» Смысл задач под кодовым названием «Кто есть кто?» довольно прост. Нам даются отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, мы приходим к правильному результату. Задачи данного типа чаще всего решаются методом графов.

После такого глубокого изучения нашей проблемы мы решили создать пособие для обучения методам решения данных задач для учащихся и учителей. В нашем пособии содержатся все типы логических задач, представлены методы их решения, набор задач для самостоятельного решения. Данная методичка была распространена среди учащихся СОШ № 20 и учителей математики СОШ № 39, ООШ № 54.
Кроме этого, инициативная группа учащихся с удовольствием делилась своими знаниями с одноклассниками и помогала им в решении разных типов логических задач.

Каталог:wp-content -> uploads -> 2012
2012 -> Система социальной помощи семье, воспитывающей ребенка с ограниченными возможностями здоровья, в учреждениях социального обслуживания семьи и детей
2012 -> Коалиция организаций ветеранов боевых действий Дальневосточного Федерального округа «Боевое братство дв»
2012 -> Стерлитамакский филиал
2012 -> Питання про виникнення людини хвилює людство здавна. У XIX ст
2012 -> Методические рекомендации по проведению занятий с применением интерактивных форм обучения
2012 -> Тема опыта
2012 -> Вопросы к экзамену Планирование и организация работы кадровой службы Современные концепции управления персоналом
2012 -> Танцевально двигательная
2012 -> Современной

Поделитесь с Вашими друзьями:

Слайд 1

Способы решения логических задач

Слайд 2

Известно несколько различных способов решения логических задач. Метод рассуждений Табличный С помощью графов Упрощение логических выражений Составление таблиц истинности Метод кругов Эйлера

Слайд 3

Рассмотрим четыре типа логических задач. Задачи 1-го типа В условии приводится несколько двойных или одинарных утверждений и дается оценка их истинности, т.е. сообщается, сколько участников говорят только правду, сколько лгут и сколько говорят то правду, то ложь .

Слайд 4

Задача №1 Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду , другой всегда лжет , а третий говорит через раз то ложь , то правду . Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них прав, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию . Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, — правда». Саша И Утверждение ИСТИННО , т.к. астрономию никто не прогуливал Коля Л Л Первое утверждение ЛОЖЬ , т.к. астрономию никто не прогуливал, второе утверждение тоже ЛОЖЬ , т.к. Саша говорил правду Миша Л Утверждение, что Коля говорил правду ЛОЖЬ Ответ: Коля лжет всегда, Саша говорит правду , а Миша может сказать правду а может и солгать .

Слайд 5

Задача №2. Три друга играли во дворе в футбол и разбили мячом окно. Ваня сказал: «Это я разбил окно, Коля окно не разбивал». Коля сказал «Это сделал не я и не Саша».

Саша сказал: «Это сделал не я и не Ваня». А Бабушка сидела на лавочке и все видела. Она сказала, что только один мальчик оба раза сказал правду , но не назвала того, кто разбил окно. Кто же это? В К С Слова В Слова К Слова С В ┐ К ┐ К ┐ С ┐ С ┐ В 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 Ответ: разбил Коля

Слайд 6

Задачи 2-го типа В условии приводится несколько двойных утверждений, в которых одно утверждение истинно, а другое ложно. Результат – расстановка участников по местам. Пример: Перед началом турнира болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: А. Макс победит, Билл – второй. Б. Билл – третий, Ник – первый. В. Макс – последний, а первый – Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый болельщик был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Билл, Ник, Макс?

Слайд 7

Пример: Перед началом турнира болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: А. Макс победит, Билл – второй. Б. Билл – третий, Ник – первый. В. Макс – последний, а первый – Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый болельщик был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Билл, Ник, Макс? А В С Билл — 2 Макс — 1 Билл — 3 Ник — 1 Макс — 4 Джон -1 И Л И Л Л И Противоречие!!! Два первых места Ответ: Ник -1, Билл 2, Джон 3, Макс — 4 И Л Л И И Л

Слайд 8

М Б Н Д 1 3 2 4 1-ый эксперт: Предположим, что Макс – победит, следовательно М4 — ложно Противоречие- в вершину 1 приходит Д1 Значит М1 – убрать , а М4 – оставить Убираем Д1 Убираем Б3 Решение с применением графа Вершины графа – имена участников и места, которые они могут занять . Для каждого эксперта используются линии разных цветов. В результате решения на графе должна остаться только одна линия определенного цвета , и из каждой вершины должна выходить одна линия. Ответ: Ник – первый Билл – второй Джон – третий Макс — четвертый

Слайд 9

Задачи 3-го типа В условии приводятся несколько (обычно три) двойных утверждений, в которых одно утверждение истинно, а другое ложно. Пример: Трое свидетелей рассказали о машине, которую они видели: Это была Хонда черного цвета. Это был Форд синего цвета. Это был Мерседес, но не синий. Каждый из них был прав только в одном из своих утверждений. Какая это была машина? Первый Второй Третий Хонда Черная Форд Синий Мерседес не синий И Л Л И Л И Л И И Л Л И Ответ: Форд, черный

Слайд 10

Задачи 4- типа. Даны несколько логических высказываний, являющихся истинными. Задача 1. На вопрос, кто из десятиклассников, присутствующих на олимпиаде по физике решит самую трудную задачу, учитель ответил: «Если задачу может решить Виктор, то ее может решить и Степан, но неверно, что если задачу может решить Антон, то может решить ее и Степан» и оказался прав, когда результаты стали известны. Кто из трех десятиклассников решил самую трудную задачу? Обозначения; А = «Задачу решил Антон» В = «Задачу решил Виктор» С = «Задачу решил Степан» ( В — > C) /\ (¬( А — > C)) = 1

Слайд 11

Составим таблицу истинности логического выражения А В С В — > C А- > C ¬(А- > C ) ( В — > C) /\ (¬( А — > C)) 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 Ответ: задачу решил Антон

Слайд 12

Задача №1 . В одном королевстве король всякому узнику, приговоренному к смерти, давал последний шанс спастись. Ему предлагалось угадать, в какой из двух комнат находится тигр, а в какой — принцесса. Хотя вполне могло быть, что король в обеих комнатах разместил принцесс или, что хуже, в обеих — тигров. Выбор надо сделать на основании табличек на дверях комнат. Причем узнику известно, что утверждения на табличках одновременно либо истины, либо ложны. Надписи были таковы. Первая комната: «По крайней мере, в одной из этих комнат находится принцесса». Вторая комната: «В другой комнате – тигр». Какую дверь должен выбрать узник? ? Решение логических задач методом преобразования логических выражений.

Слайд 13

P 1 = В первой комнате принцесса . P 2 = Во второй комнате принцесса. P 1 = В первой комнате тигр. P 2 = Во второй комнате тигр.

Слайд 14

А = Р 1 \/ Р 2 В = Р 1 А & B \/ A & B = 1

Слайд 15

А & B \/ A & B = 1 (P 1 \/ P 2 ) & P 1 \/ (P 1 \/ P 2 ) & P 1 А = Р 1 \/ Р 2 В = Р 1 = (P 1 & P 1 \/ P 2 & P 1 ) \/ (P 1 & P 2 ) & P 1 = = 0 \/ P 2 & P 1 \/ (P 1 & P 2 & P 1 ) = P 2 & P 1 = 1 Ответ: А = Р 1 \/ Р 2 В = Р 1 А = Р 1 \/ Р 2 Дистрибутивность Закон де Моргана

Слайд 16

P 1 = В первой комнате принцесса . P 2 = Во второй комнате принцесса. P 1 = В первой комнате тигр. P 2 = Во второй комнате тигр. P 2 & P 1 = 1 P 2 & P 1 = 1 P 2 & P 1 = 1 P 2 & P 1 = 1

Слайд 17

Задача №4 (на однозначное соответствие) В бюро переводов приняли на работу троих сотрудников: Диму, Сашу и Юру. Каждый из них знает ровно два иностранных языка из следующего набора: немецкий, японский, шведский, японский, китайский, французский и греческий. Известно, что (1) Ни Дима, ни Юра не знают японского (2) Переводчик со шведского старше переводчика с немецкого (3) Переводчик с китайского, переводчик с французского и Саша родом из одного города (4) Переводчик с греческого, переводчик с немецкого и Юра учились втроем в одном институте (5) Дима – самый молодой из всех троих, и он не знает греческого (6) Юра знает два европейских языка В ответе запишите первую букву имени переводчика со шведского языка и, через запятую, первую букву имени переводчика с китайского языка.

Слайд 18

Немецкий Шведский Японский Китайский Французский Греческий Дима + — — + — — Юра — + — — + — Саша — — + — — + Дима — Немецкий и китайский Юра – шведский и французский Саша – японский и греческий Рассуждение с использованием таблицы

Слайд 19

При решении подобных задач нужно выбрать наиболее рациональный метод.

Задача 1.

Как-то три учителя на практикуме решили продемонстрировать ученикам свое умение размышлять. Они взяли 5 шляп (если кто-то не может представить древнегреческих учителей в шляпах, пусть представит их в разноцветных венках или повязках на голове) — 3 белые и 2 черные — и попросили одного из учеников надеть каждому из них по шляпе. Ученик мог выбрать каждому произвольный цвет шляпы и надеть ее так, чтобы ни один мудрец не видел цвет своей шляпы. Ученик надел каждому по белой шляпе, решив, что так сделает выбор учителей труднее. Учителя договорились о том, что, если кто-либо из них догадается, какого цвета у него шляпа, он сразу же должен заявить об этом. Вскоре один из них догадался, что у него белая шляпа.

а) Как он рассуждал?

б) Действительно ли ученик выбрал для мудрецов самый трудный вариант?

Задача 2.

Мотоциклист ехал в поселок. По дороге он встретил три легковые машины и грузовик.
Сколько всего машин шло в этот поселок?

Задача 3.

В одной семье два отца и два сына.
Сколько это человек?

Задача 4.

Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу первый из пункта A со скоростью 20 км/ч, второй из B со скоростью 15 км/ч.
Который из велосипедистов будет ближе к A в момент встречи их?

Задача 5.

Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?

Задача 6.

B семье 5 сыновей и у каждого есть сестра.
Сколько детей в этой семье?

Задача 7.

Блокнот с оберткой стоят 11 р. Сам блокнот на 10 р. дороже обертки.
Сколько стоят блокнот и обертка в отдельности?

Задача 8.

Часы с боем отбивают один удар за 1 с.
Сколько времени потребуется часам, чтобы они отбили 12 ч?

Задача 9.

Три курицы за три дня снесут три яйца.
Сколько яиц снесут 6 куриц за 6 дней?
4 курицы за 9 дней?

Задача 10.

Чему равно произведение последовательных целых чисел, — начинающихся числом -5 и оканчивающихся числом 5?

Задача 11.

Как можно истолковать равенства: а) 19+23 =18, б) 9+8=5, в) 12 + 12 = 0, г) 7*3=9?

Задача 12.

В другой раз учителя решили провести иную практическую демонстрацию умения рассуждать. Они стали в ряд (в затылок друг другу) так, что лишь последний в ряду по-прежнему видел шляпы двух других, средний видел только шляпу переднего. Первый в ряду не видел ни одной шляпы. Учителя, догадавшиеся о цвете своей шляпы, должны были немедленно и громогласно заявить об этом. Ученик опять выбрал самый трудный для учителей вариант и надел каждому по белой шляпе, и вскоре один из учителей правильно назвал цвет своей шляпы.
Кто это был?

Задача 13.

1. Если сегодня дождя не будет, то завтра будет ветреная погода.

2. Если же сегодня дождь пройдет, то завтра осадков не будет.

3. Если сегодня будет холодно, то и влажность сегодня будет высокой.

4. Если сегодня будет тепло, то завтра будет безветренно.

5. Если сегодня ветра не будет, то завтра будет тепло.

6. Если же сегодня будет ветрено, то завтра будет дождь, хотя влажность воздуха будет низкой.

7. Если завтра осадков не будет, то завтра будет холодно, а влажность останется такой же, как сегодня.

Какой будет погода сегодня и завтра, без всяких «если»?

Логические задачи. Решения задач. Ответы.

Решение задачи 1.

а) Пусть первым догадался мудрец А. Он мог рассуждать следующим образом: «Предположим, что у меня шляпа черная. Тогда Б видит мою черную шляпу и белую шляпу В и думает, какого цвета его шляпа. «Если бы моя (Б) шляпа была черной, то В, видя 2 черные шляпы, сразу же заявил бы о белом цвете своей шляпы». Однако В молчит. Следовательно, Б должен сделать вывод о том, что его шляпа не черная, а белая, и заявить об этом. Однако и Б молчит. Следовательно, мое исходное предположение о том, что у меня шляпа черная, ложно. Таким образом, у меня шляпа белая».

б) Если у одного мудреца, например Б, черная шляпа, то А, предположив, что и у него шляпа тоже черная, ожидал бы, что В сразу же догадается, что у него белая шляпа, так как черных шляпы всего 2. Следовательно, А еще быстрее догадался бы о цвете своей шляпы, чем в случае, когда у всех белые шляпы.
Если же у двух мудрецов черные шляпы, а у третьего белая, то он моментально об этом догадался бы.

Решение задачи 2.

Не менее одной (мотоцикл двигался в поселок).

Решение задачи 3.

Дед, отец, сын.

Решение задачи 4.

Велосипедисты встретятся на одном и том же расстоянии от А.

Решение задачи 5.

Иногда обыкновенной дробью выражают нумерацию углового дома квартала (числитель-номер этого дома по одной улице, знаменатель-номер его по другой улице.

Решение задачи 6.

Решение задачи 7.

10,5р. и 0,5р.

Решение задачи 8.

11с.

Решение задачи 9.

12; 12.

Решение задачи 10.

Решение задачи 11.

Все эти равенства можно истолковать на языке часов.

Решение задачи 12.

Пусть А – передний мудрец, Б — второй и В — последний.
Догадался передний мудрец. Он мог рассуждать, например, так: «Поскольку последний в ряду мудрец В, который видит 2 шляпы, молчит, то у нас с Б не могут быть одновременно черные шляпы. Рассуждая аналогично, мудрец Б догадался бы, что у него белая шляпа, если бы у меня была шляпа черная. Но Б пока молчит, следовательно, у меня шляпа белая».

Если в предыдущих задачах про мудрецов их положение было симметрично и они догадывались о своих лбах и шляпах практически одновременно, то в этой задаче положение первого мудреца, который не видит ни одной шляпы, на первый взгляд самое трудное.
В действительности только он и может догадаться, если все три шляпы белые.

Решение задачи 13.

Из п. 5 и 6 следует, что завтра не может быть одновременно и холодно, и без осадков, и высокая влажность. Тогда из п. 2 следует, что сегодня дождя не будет.

Тогда из п. 1 следует, что завтра будет ветрено.

Тогда из п. 4 следует, что сегодня будет холодно.

Тогда из п. 3 следует, что сегодня и влажность будет высокой.

Тогда из п. 7 следует, что и завтра влажность будет высокой.

Тогда из п. 6 следует, что сегодня будет безветренно.

Тогда из п. 5 следует, что завтра будет тепло.

Итак, сегодня будет безветренно, холодно, дождь не ожидается, но влажность будет высокой.
Завтра потеплеет и при высокой влажности будет ветрено и дождливо.

Более сложные логические задачи по математике с решением и ответами
Математические ребусы | Занимательная математика | Занимательные задачи | Задачи на смекалку

Добавить комментарий

Закрыть меню