Производная и ее применения

Реферат.

на тему “Производная, и ее применение ”.

Успенского Сергея

Определение производной

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки Х0 (окрестность точки Х0 — это интервал (а; б), x0Î(а; 6)).

Разность х-Х° называется приращением аргумента:

∆x = х-x0. Отсюда x = x0 + ∆x.

Разность f(x)-f(x0) называется приращением функции:

∆f = f(x) — f(x0) или

∆ f = f(x0+∆x) – f(x0).

Отсюда f (x0+∆x) = f (x0) + ∆ f.

Геометрический смысл приращений ∆х и ∆ f показан на рисунке . Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x, стремящегося к «нулю.»

Обозначается f ‘ (x0). Читается: «эф штрих в точке x0. Итак,

f ‘ (x0) = lim (∆ f / ∆x)

∆x→ 0

Если функция у = f (х) имеет производную в точке x0 , то говорят, что она дифференцируема в точке x0.

Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.

Правила дифференцирования.

1. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их сумма также дифференцируема в точке x0, причем производная суммы равна сумме производных, т.е.

(u + n)’=u’ + n’.

2. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их произведение также дифференцируемо в точке x0 причем

(u — n)’ = u’n + un’.

3. Если функции u и n дифференцируемы в точке х0 и

n'(x0) ≠ 0, то их частное также дифференцируемо в точке x0, причем (u/n)’ = (u’n — un’) / n²

4. Если функция и дифференцируема в точке x0 и с = const. то их произведение также дифференцируемо в точке x0 причем (сu)’ = си’.

Если f (g(х)) — сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций, т.е.

‘= f ‘(g) ◦ g'(x).

Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = n(t0) — мгновенная скорость в момент времени t0, ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x'(t0) (по определению производной).

Итак, n(t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x0 — это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

u(t) = x'(t) — скорость,

a(f) = n'(t) — ускорение, или

a(t) = x»(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) — изменение угла от времени,

ω = φ'(t) — угловая скорость,

ε = φ'(t) — угловое ускорение, или ε = φ»(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) — масса,

x Î , l — длина стержня, р = m'(х) — линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х»(t) + ω2x(t) = 0, где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k — жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у» + ω2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция у = Asin(ωt + φ0) или у = Acos(ωt + φ0), где

А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота,

φ 0 — начальная фаза.

Элементы исследования функции с помощью пределов и производной.

С помощью производной функции устанавливают промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

При этом используются следующие теоремы:

1. Если f ‘ (х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Если f ‘ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.

2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума): если x0- точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю.

Определение. Внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или ее не существует, называется критической.

3. Достаточное условие экстремума: если функция f (x) непрерывна в точке x0, а f ‘(х) > 0 на интервале (а; x0)

f ‘(х) < 0 на интервале (x0; b), то точка x° является точкой максимума

Южно-Сахалинский Государственный Университет

Кафедра математики

Курсовая работа

Тема: Практическое применение производной

Меркулов М. Ю.

Курс: 3

Преподаватель: Лихачева О. Н.

Оценка:

Южно-Сахалинск

2002гВведение

В данной работе я рассмотрю применения производной в различных науках и отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается одна из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический смысл и т. д.)

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 — 1557 гг.) — здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 — произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) — f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y(x)=

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ∆x, его значению соответствует значение функции y0 + ∆y = f(x0 + ∆x). Соответствующая точка — N(x0 + ∆x, y0 + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN — поворачиваться вокруг точки M, а угол φ — меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

То есть, значение производной f (x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y.

2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M — точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями

x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).

Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:

Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x — x0, y — y0, z — z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

Fx(x — x0) + Fy(y — y0) + Fz(z — z0)=0

и для частного случая z = f(x, y):

Z — z0 = Fx(x — x0) + Fy(y — y0)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида

Решение:

Zx = x / a = 2; Zy = -y / a = -1

Уравнение искомой плоскости:

Z — 1.5a = 2(x — 2a) — (Y — a) или Z = 2x — y — 1.5a

3. Использование производной в физике

3-1. Скорость материальной точки

Слайд 1

Применение производной к решению математических задач практического содержания

Слайд 2

Введение Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, экономике, медицине, экологии, а так же в быту. Мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной . Эти задачи не совсем обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения. Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции. В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путем измерений и, следовательно, точное их значение неизвестно. Если исходные данные содержат погрешности измерений, то применение точных методов измерения не целесообразно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях лучше использовать приближенные методы. Теоретической основой одного из простейших приемов приближенных значений вычислений является понятие дифференциала. Приближенное значение приращение функции называется дифференциалом функции и обозначается dy , причем dy =y'(x) dx . Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. Рассмотрим некоторые из них.

Слайд 3

Задача № 1.

Докажите, что уравнение имеет только один действительный корень . Решение : Рассмотрим функцию и найдем её интервалы монотонности. Имеем : Производная f’(x) обращается в нуль в четырех точках: -2, -1, 1, 2. Эти точки разбивают числовую прямую на пять промежутков: (- ∞; -2), (-2; -1), (-1; 1), (1; 2), (2; +∞). На каждом из указанных промежутков производная сохраняет постоянный знак. Отсюда заключаем, что на каждом из этих промежутков функция y = f(x) монотонна, т.е. или возрастает или убывает. Тогда график функции на каждом из указанных промежутков может пересекать ось абсцисс не более ∞ чем в одной точке. Это значит, что функция y = f(x) на каждом из рассматриваемых промежутков может иметь не более одного корня, причем корни функции могут быть в тех и только тех промежутках, на концах которых функция имеет разные по знаку значения. Имеем: Так как f(x) имеет различные знаки только на концах промежутка (-1; 1), то заданное уравнение имеет лишь один действительный корень, лежащий внутри этого интервала.

Слайд 4

Задача №2. При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь? Решение : Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени: Откуда следует : Следовательно , 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.

Слайд 5

Задача №3. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передаче приблизительно описывается функцией f(x )=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший ? Решение : Исследуем расход горючего с помощью производной: f'(х)=0,0034х-0,18.Тогда f'(х)=0 при х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f»(х)=0,0034>0, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.

Слайд 6

Задача №4. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У — функция степени реакции. У=f(x)=x²(a-x), где а — некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна? Решение : 0

Добавить комментарий

Закрыть меню