Примеры комплексные числа

Возведение в степень. Формула Муавра

При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример. Найти
Решение.
=

Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: . Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:
, а затем

Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме. Примечание:

  • — модуль комплексного числа . Пример:
  • — аргумент комплексного числа . Пример:

Пример №1. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Базовая формула: где =arctg((-4)/(-1));
Алгоритм

  1. находим угол .
  2. находим модуль .

1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа
Действительная часть комплексного числа:
Мнимая часть:
Модуль комплексного числа равен:
Поскольку , , то находим как:
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа
2. Находим показательную форму комплексного числа

Пример №2. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.
Модуль комплексного числа равен ,т.е. или
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений:
Выразим и подставим в первое выражение:
Поскольку , то получаем:
или или .
Таким образом, из выражения можно сразу было получить:
,

Правила ввода функции

Все математические операции выражаются через общепринятые символы , , , .
Примеры

Тригонометрическая форма комплексного числа

⇐ Предыдущая12

Модулем комплексного числа называют выражение

Аргумент комплексного числа это . Аргумент изменяется в диапазоне и рассчитывается по формуле

Пример. Найти модуль и аргумент числа z=1-i.

X=1, y=-1, то , т.к. число z=1-i лежит в четвертой четверти.

Запись комплексного числа в виде z= называют тригонометрической формой комплексного числа, где

Пример. Записать тригонометрическую форму числа z=1-i.

Z=

Тригонометрическая форма используется для возведения комплексных чисел в степень и извлечения корня.

Возведение комплексного числа в степень осуществляется с помощью формулы Муавра

Примеры. а) Вычислить

Учитывая, что запишем показатель степени в виде суммы двух слагаемых одно из которых кратно четырем:

в) Вычислить (-1+ .

Решение. Представим число в тригонометрической форме

Применяя формулу Муавра, получим

Извлечение корня из комплексного числа осуществляется с помощью формулы

Где к=0,1,2,…..,n-1,

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений.

Пример. Найти все значения

Приводим число ( ) к тригонометрическому виду

1-i= Следовательно,

Полагая k=0,1,2,3,найдем

(k=0)

(k=1)

(k=2)

(k=3)

Показательная форма комплексного числа

По формуле Эйлера , то z= Это показательная форма комплексного числа.

Пример. Записать число в показательной форме.

Найдем модуль и аргумент числа: Показательная форма

Упражнения.1.Найти модуль и аргумент комплексного числа

Вычислить где

3.Записать тригонометрическую и показательную форму числа

Домашняя работа:выполнить вариант домашней контрольной работы по разделу комплексные числа.

Раздел 1. Комплексные числа.

ЗАДАЧА 1.Даны комплексные числа z1, z2 и z3. Необходимо

А) найти число

Б) изобразить на комплексной плоскости данные комплексные числа, найти их модули и аргументы;

В) записать комплексные числа z1, z2 и z3 в тригонометрической и показательной формах.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

Задача 2. Найти все корни уравнений.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) а) z4+1=0, b) 2z2+3z+5=0 11) a) z4-1=0, b) z2+z+5=0 21) a) z5-1-i=0, b) z2+z+9=0

2) a) z3-1=0, b) z2+2z+5=0 12) a) z3+1=0, b) 2z2-z+3=0 22) a) z6+1+i=0, b) z2+2z+6=0

3) a) z2+1+i=0, b) z2+3z+4=0 13) a) z5-1=0, b) z2+z+1=0 23) a) z3-1+ , b) z2-z+5=0

4) a) z5+1=0, b) 2z2-2z+5=0 14) a) z6+1=0, b) z2+z+2=0 24)a) z4+1+ b) z2+3z+6=0

5) a) z6-1=0, b) 2z2+z+5=0 15) a) z7-1=0, b) 2 z2+z+1=0 25) a) z5-1- ; b) z2+z+4=0

6) a) z7+1=0; b) 2z2+3z+2=0 16) a) z8+1=0; b) z2+2z+3=0 26) a) z6+1- , b) z2+2z+4=0

7) a) z8-1=0; b) z2+3z+5 =0 17) a) z3+8=0; b) 3z2+2z+1=0 27) a) z3- , b) 3z2+z+1=0

8) a) z2-1+i=0; b) 2z2-z+5=0 18) a) z4-16=0; b) 2z2+z+6=0 28) a) ; b) z2+z+7=0

9) a) z3-8=0; b) 3z2+3z+5=0 19) a) z3-1+i=0; b) z2+z+7=0 29) a) z3+ b) 6z2+2z+3=0

10) a) z4+16=0; b) z2+3z+6 =0 20) a) z4+1-i=0; b) 3z2+z+3=0 30) a) z3+ -i=0; b) 7z2+2z+4=0

Задача 3.Найти и построить на комплексной плоскости области, которым принадлежат точки

удовлетворяющие указанным условиям.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел.

⇐ Предыдущая123456

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

42. Действия над комплексными числами

Сложение и вычитание

По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:

(a1 + b1i ) + (a2 + b2i ) +…+ (an + bni ) = (a1 + a2+ …+ an ) + (b1+ b2+…+ bn )i = a + bi

Операция введена, так как получили элемент того же множества.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x +iy = (a1 + b1i) – (a2 + b2i ) определяется из условия:

(x +iy) + (a2 + b2i ) = (a1 + b1i) .

Из правила сложения получаем:

x +a2 = a1,
y +b2 = b1.

То есть x = a1 – a2, y = b1 – b2 и разность

(a1 + b1i ) – (a2 + b2i ) = (a1–a2) + (b1– b2)i.

Умножение комплексных чисел

Определение.Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a1 + b1i) (a2 + b2i ) =x +iy.

Имеем .

Согласно определению умножения можем записать:

Распишем: ,

,

Окончательно получим:

Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

Если z = а + b i – комплексное число, то число называется сопряжённым с числом z . Его обозначают при помощи черты над числом.

, но , следовательно, .

Деление комплексных чисел

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, топравило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число(a1 + b1i ) на другое комплексное число (a2 + b2i ), то есть найти , нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой.

⇐ Предыдущая123456

Дата добавления: 2016-11-12; просмотров: 2170 | Нарушение авторских прав

Рекомендуемый контект:


Похожая информация:


Поиск на сайте:


Множество комплексных чисел

В XVI в., в связи с изучением кубических уравнений при выводе формулы для нахождения их корней, появлялись корни арифметические из отрицательного числа, хотя конечный результат давал действительный корень уравнения.

Своим введением в математику комплексные числа обязаны желанием извлечения корней четной степени из любого действительного числа, и отрицательного в том числе.

Самого по себе желания, конечно, недостаточно, тем более, что в то время потребности практически всегда вполне удовлетворялись вещественными числами. Уже отмечалось, что если решать уравнения традиционными методами, то в процессе преобразования до результата встречался квадратный корень из отрицательного числа (например, в формуле Кардано), хотя конечный результат был числом действительным. Поэтому корни из отрицательных чисел использовались без объяснения причин, а получаемые промежуточные числа называли мнимыми.

В конце 18-го века Ф. Гаусс (1777-1855) ввел комплексные числа, дал им геометрическую интерпретацию и доказал (1799) в частном случае основную теорему алгебры, о том, что каждый многочлен с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.

Будем считать, что известны множество вещественных чисел и правила действий над ними. Рассмотрим уравнение .

Применяя к нему обычные правила нахождения корней, получим . Допуская, что решение этого уравнения существует и , мы приходим к тому, что . В области действительных чисел такого числа нет. Тогда, объявляя i новым числом, мы присоединяем его к множеству действительных чисел. Предполагая выполнение для этого числа операций сложения и умножения, мы будем иметь для любых числа , , , хотя – частный случай при . Тем самым мы получили новые числа , где . Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа z. Отсюда следует, что множество действительных чисел есть подмножество нового числового множества – комплексных чисел. Таким образом, множество комплексных чисел

, .

Оправдалось предположение Дж. Кардано: с мнимыми числами можно действовать по правилам обычной алгебры, то есть писать, при , . Пусть комплексное число , тогда , а , где Re сокращение от Real (действительный), а Im – от Imaginares (мнимый). Говорят, – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа z. Эти обозначения введены для удобства работы с комплексными числами .

Отталкиваясь от алгебраической формы записи комплексного числа, определим поле комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа , , , , тогда

1) Û , ;

2) ;

3)

4)

Число называется комплексно сопряженным числу , при этом .

Модулем комплексного числа называется действительное число .

, , имеет место:

1) ;

2) (неравенство треугольника);

3) (неравенство Коши-Буняковского).

Геометрически комплексное число z представимо точкой A на плоскости с заданной декартовой системой координат. Ось Ox называется действительной осью, а ось Oy – мнимой, тогда для ставится в соответствие точка или вектор , , (рис. I.1).

Из рис. I.1 следует, что , . Угол j называется аргументов комплексного числа . Значение аргумента, удовлетворяющего условию , называется главным значением аргумента комплексного числа zи обозначается , тогда , .

Рис. I.1

Выражение , где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа .

Учитывая формулу Эйлера : , получаем, что – показательная форма записи комплексного числа; заметим, что и , .

Таким образом, комплексное число имеет три формы записи: алгебраическую, тригонометрическую и показательную.

Возведение комплексного числа в целую степень n легко осуществить по формуле Муавра :

В частности, при имеем , , , , и т.д.

Эта же формула справедлива и для отрицательного показателя степени: учитывая, что , получим

Например,

Для извлечения корня из комплексного числа воспользуемся формулой:

,

, .

Пример I.4. Найти .

Решение.Модуль комплексного числа z равен ,

. Поскольку , , тогда .

Применим формулу

,

и получим

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , .

При других значениях k корни повторятся (см рис. I.1)

Дальнейшие обобщения числа ни к чему принципиально новому не привели. В конце 19-го века выяснилось, что для выхода за пределы множества комплексных чисел следует отказаться от каких-либо обычных свойств числа, конечно, если это будет возможным.

Девятнадцатый век и начало двадцатого оказались очень плодотворными для математики. Произошло ее аксиоматическое построение на теоретико-множественной основе. К тому времени появилось достаточно много математических теорий, и все они, как было замечено, изучали ту или иную алгебраическую систему как обобщение числовой, то есть некоторое множество элементов с операциями умножения и сложения не в смысле арифметических действий с конкретными элементами, а в смысле свойств (аксиом), которыми они определяются.

Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 576;

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb{C} $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица$ i = \sqrt{-1} $, числа $ a,b \in \mathbb{R} $ вещественные.

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline{z} = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Добавить комментарий

Закрыть меню