Операции над множествами

Определение множества

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

  • А={1,2,3,5,7} — множество чисел
  • Х={x1,x2,…,xn} — множество некоторых элементов x1,x2,…,xn
  • N={1,2,…,n} — множество натуральных чисел
  • Z={0,±1,±2,…,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N {1,2,3,…,n} Множество всех натуральных чисел
Z {0, ±1, ±2, ±3,…} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q

Множество рациональных чисел.

Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем «один»: 2 = 2/1.

Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.

R

Множество всех вещественных чисел.

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:

  • число — отношение длины окружности к её диаметру;
  • число — названное в честь Эйлера и др.;

Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.

Элементы логической символики

«следует», «выполняется»
равносильность утверждения
: «такой, что»

Запись ∀x: |x|<2 → x2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x2 < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

  • ∀- квантор общности, используется вместо слов «для всех», «для любого».
  • ∃- квантор существования, используется вместо слов «существует», «имеется». Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Множества

Множество – совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита – от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Элемент множества – это любой объект, входящий в состав множества.

Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака . Запись

5∈Z

читается так: или .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество – множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Между множествами А и В оставляет и объединяет в одно множество только те эллемнеты которые не пересекаются в двух этих множествах.

12Следующая ⇒

Графы

21Планарные

22Орграфы

23Смежность

24Связность

25матрица Инцидентности

26Виды графов. (циулические, планарные ориентированные их ребра не пересекаются,не ориентированные)
Диаметр графа

Кр.путь по графу……………………………………9 алгоритм дейкстра

Укладка графа на сфере

Форм. Эйлера

Маршруты цепи циклы

Постр кр.пути

Алгоритм раскрашивания (теория раскраски графов 5 цв)

Эйлерова хар-ка
Гамильтонов цикл

Задача Комивояжера

тоерия раскрски графов

Деревья

Основные свойства деревьев

40корень ветки листья.

Множества
Множество – любая определенная совокупность объектов. Объекты – элементы множества.

Способы задания множества:

· Перечислением элементов

M={a, b, c, d,…}

· Характеристическим предикатом

M={x|x(P)}

· Порождающей процедурой

M={x|x=f(x)}

Мощность множества: |M|

Для конечных множеств, мощность – это количество элементов в множестве. Если в множествах равное количество элементов, они называются равномощными.

Конечные множества – множества, состоящие из конечного числа элементов.

Бесконечные множества – множества, состоящие из бесконечного числа элементов. Например, множество натуральных чисел или универсум. Их нельзя задать перечислением.

Булеан – множество всех подмножеств множества. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов = 2n.

Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, симметричная разность, декартово произведение

Свойства операций над множествами:

1. Пересечение множеств.

Определение: Пересечением множеств Х и У называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат и множеству Х и множеству У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} пересечением {2,4}

Определение: Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству.

Например: непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих.

Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих одновременно всем множествам.

Свойства пересечения:

1. X∩Y = Y∩X — коммутативности

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z — ассоциативности

3. (UX)∩Y = U(X∩Y) — объединения

4. X∩Y=X (Х – нейтр.множество или эллемент)
5. Х∩Х=Х – идемпотентность

6. Х∩ᴓ=ᴓ — пустота

Объединение множеств

Определение: Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} объединением {1,2,3,4,6}

Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Свойства объединения:

1. XUY= ХUY- коммутативности

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ — ассоциативности

3. ∩АUB=∩(AUB) — дистрибутивность

4. ХUᴓ=X

5. XUX=X

Из свойств операций пересечения и объединения видно, что пустое множество аналогично нулю в алгебре чисел.

Разность множеств

Определение: Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} разность {1,3}

Как мы уже видели, роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Определим множество, которое будет играть роль единицы в алгебре множеств

Свойства:
Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

Свойства пустого множества относительно разности:

Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

. Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).

Разность не пересекается с вычитаемым:

Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:

между множествами А и В оставляет и объединяет в одно множество только те эллемнеты которые не пересекаются в двух этих множествах.

Декартово произведение

Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре

Ряд на ряд гл.диогональ граф.

Диагр. Венна придуманы для того,чтобы было проще работать над множествами.

Бинарные отношения

Бинарным отношением из множества в множество называется подмножество прямого произведения и и обозначается: . Часто используют инфиксную форму записи: .

Если отношение определено на множестве , то возможно следующее определение:

Бинарным (или двуместным) отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и некоторые упорядоченные множества.

Область определения отношения R на A и B есть множество всех x ⋲ A таких,что для нектоорых y ⋲ В имеем (х,у) ⋲ R. Другими словами,область определения R есть множество всхе первых координат упорядоченных пар из R. Множество значений отношения R на А и В есть множество всех у ⋲ В таких,что (х,у) ⋲ R для некторого х ⋲ А. Другими словами, множество значений R есть множество всех вторых координат упорядоченных пар из R.

Пусть — отношение на А х В, а — отношение на В х С. Композицией отношений S и R называется отношение определенное таким образом:

Свойства:

Симметричность — это если для (x, y) выполняется отношение, то оно выполняется и для (y, x). Антисимметричность — это значит, что ни для какого (x, y), для которого выполняется отношение, не выполняется (y, x)
Рефлексивность значит, что если отношение P построено на множестве A (т.е. P ⊂ A2), то вся диагональ A2 (т.е. все возможные пары (x, x), x ∈ A) принадлежит отношению. Иррефлексивность — ни один элемент из диагонали отношению не принадлежит.
Транзитивность — если пара (x, y) принадлежит отношению, и пара (y, z) принадлежит этому же отношению, то пара (x, z) всегда принадлежит отношению.

ᴓᴉϵ϶Σ

Отношения эквивалентности

это бинарное отношение

R ⊆ A × A есть отношение эквивалентности, если оно

• рефлексивно

• симметрично

• транзитивно

Класс эквивалентности элемента а относительно

отношения эквивалентности R есть множество

Добавить комментарий

Закрыть меню