Оформление задач по математике

ГОУ ВПО Ульяновский государственный педагогический

университет имени И.Н. Ульянова

Кафедра теории и методикипреподавания математики

«Различные способы оформления условия решения и оформления решения математических задач»

Ульяновск 2009 год

Способы решения математических задач на конкретном примере

Задача . Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные – щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Способы решения задачи:

1. Практический (предметный) способ .

Учащиеся могут решить эту задачу, опираясь только на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 10.

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных рыб: л – лещи, о – окуни.

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует тем кругам, которые не обозначены (их три).

2. Арифметический способ .

Этот метод основывается на арифметических действиях.

1) 3+4=7 (р.) – пойманные рыбы;

2) 10–7=3 (р.) – щуки.

Для ответа на вопрос задачи выполнили 2 действия.

3. Алгебраический способ .

Этот способ основывается на введении неизвестной переменной и на нахождении ее.

Пусть х – пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3+4+х – все рыбы.

По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб.

Значит: 3+4+х=10. Решив это уравнение ответим на вопрос задачи: х=3.

4. Графический способ.

Этот способ решения близок к практическому, но носит более абстрактный характер и требует специального разъяснения. Каждый объект задачи обозначается отрезком.

Рисунок

Этот способ, так же как и практический, позволяет ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

5. Комбинированный способ.

В нем могут быть использованы одновременно графический и арифметический способы.

1) 3+4=7 (р.) – пойманные рыбы;

2) 10–7=3 (р.) – щуки.

Способы оформления решения задач на примере конкретной задачи

Задача. У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12 на вторую, остальные – на третью. Сколько книг на третьей полке.

Различные формы записи решения задачи:

а) Решение по действиям:

1) 28+12=40 (к.)

2) 90–40=50 (к.)

Ответ: 50 книг на третьей полке.

б) По действиям с пояснением:

1) 28+12=40 (к.) – на 1 и 2 полках вместе,

2) 90–40=50 (к.) – на 3 полке.

Ответ: 50 книг.

в) С вопросами:

1) Сколько книг на 1 и 2 полках месте?

28+12=40 (к.)

2) Сколько книг на 3 полке?

90–40=50 (к.)

Ответ: 50 книг на третьей полке.

г) Выражением:

90 – (28+12)

При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

90 – (28+12)=50 (к.)

Способы оформления краткой записи на примере конкретной задачи

Задача. У одной закройщицы было 15 м ткани, у другой – 12 м. Из всей ткани они скроили платья, расходуя на каждое по 3 м. Сколько всего платьев они скроили?

1-й способ: 1) 15+12=27 (м),

Требования к оформлению решений математических задач

Общие требования культуры ведения записей

В экзаменационной работе

1. Краткое условие задачи (если оно есть в геометрических задачах) отделяется от решения.

2. Всякая новая мысль начинается с красной строки.

3. Записи ведутся аккуратно, разборчивым подчерком, используя

шариковую ручку с пастой синего или фиолетового цвета.

4. Не допускается использование фломастеров, наклеек, цветных

стержней.

5. Между номером задания, решением и ответом пропускается одна

клетка вниз.

6. Построение геометрических фигур, графиков функций, выполнение рисунков осуществляется только с помощью карандаша, линейки и циркуля. Элипсообразные фигуры с помощью шаблона.

7. Правильное расположение математических знаков в строке. Так, перенос формулы или выражения с одной строки на другую разрешается производить только на знаках сложения, вычитания, умножения и равенства. При переносе, знаки «+», «-» и «=» повторяются на следующей строке, знак умножения заменяется «х», который тоже повторяется на следующей строке. Правильно располагать черту дроби и знак равенства. Черта дроби не разрывается.

8. Сокращение обозначений единиц измерения должно быть правильным.

9. Не допустимо сокращение слов в рассуждениях.

10. Сильно не увлекаться использованием математической символики.

11. Нельзя слова «следовательно», «значит», «треугольник», «параллельно» и т.д. в тексте заменять математическими знаками.

12. В конце решения должен быть обязательно ответ. В задачах на доказательство, исследование или построение – вывод.

Требования к оформлению решений математических задач

1. Правильность решения. Решение задачи не должно содержать математических и логических ошибок.

Среди математических ошибок различают существенные (грубые) и несущественные (негрубые) ошибки.

Вопрос о том, ккакого рода ошибкам (существенным или несущественным) относится та или иная ошибка, является довольно сложным и спорным и его следует внимательно рассматривать в каждом отдельном случае. Деление погрешностей на ошибки и недочеты является условным, и учитель должен учитывать то, что размытость границ между негрубой ошибкой и недочетом, грубой и негрубой ошибками, а порой даже между грубой ошибкой и недочетом может быть причиной необъективной оценки.

Вообще, при проверке работ следует иметь в виду, что оформление решений может быть разным. Здесь важно, чтобы в записях были видны основные этапы решения и логика. Не следует стремиться к «идеальному» эталону оформления. Не следует требовать от учащихся излишне развернутых обоснований. Надо обосновывать все то, что не является очевидным по ходу решения и объяснять дополнительные построения, если они выполняются.

При оценке результатов учебной деятельности учащихся учитывается характер допущенных ошибок: существенных и несущественных.

К существенным (грубым) ошибкамотносятся ошибки, свидетельствующие о том, что ученик не знает формул, не усвоил математические понятия, правила, утверждения, не умеет оперировать ими и применять к выполнению заданий и решению задач.

А именно:

а) незнание, непонимание определений основных математических понятий, формулировок теорем, формул, которые предусмотрены программой,

б) незнание сущности математических понятий, математических величин,

в) неумение решать простейшие задания,

г) неумение строить графики элементарных функций,

д ) неправильное применение методов, способов, приемов решения

практических заданий.

Примеры:

1) ,

2) х 9, х 3 и х -3.

3) sin 2 = 2 sin

4)sin(-30) = -sin 30

5)

К несущественным (негрубым) ошибкамотносятся ошибки, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся по программе основными, т.е. отдельные ошибки вычислительного характера, погрешности в формулировке вопросов, определений, математических утверждений, небрежное выполнение записей, рисунков, графиков, схем, диаграмм, таблиц, а также грамматические ошибки в написании математических терминов. Такого рода ошибки не приводят к искажению смысла задания и его выполнения и не влияют на ответ.

Например:

1) неточность определений, формулировок, теорем, формул;

2)недостаточное обоснование существенных утверждений решения;

3) исключение без объяснения одного из корней уравнения;

4) построение графика линейной функции по трем точкам;

5) в окончательном ответе не избавились от иррациональности в знаменателе;

6) запись ответа в виде сократимой дроби;

7) небрежность и неаккуратность записей, рисунков, чертежей;

8) стилистические, пунктуационные и орфографические ошибки;

9) запись ответа в виде сократимой дроби;

10) исключение без объяснениякорня уравнения;

11) изображение отрезка, концами которого являются штрихи;

12) график линейной функции построен по трем и более точкам;

13) ответ представлен в виде сократимой дроби;

14) решение неравенства записано в виде х (0; 8);

15) запись: функция возрастает на (1; 2) (7; );

16) разорвана черта дроби;

17) различные единичные отрезки на осях координат;

18) невидимые линии в сечении и изображении фигур нарисованы сплошной линией.

Логические ошибки– это ошибки в рассуждениях и доказательствах, вызванные нарушением правил и законов логики. Они чаще всего обусловлены неправильным употреблением логических связок «и», «или», «если…, то…», недостаточным осознанием понятий «логическое следование», «логическая равносильность», нечетким пониманием идеи доказательства методом от противного и т.д.

В любой геометрической задаче обязательна краткая запись условия либо словесное введение условия в решение. В большинстве геометрических задач требуется рисунок. Изображение фигуры считается верным, если оно дает однозначное представление о фигуре и позволяет выполнять дополнительные построения.

2. Обоснованность решения. Пояснительный текст, сопровождающий решение, должен содержать ссылки на аксиомы, теоремы, следствия. Отсутствие обоснований может привести к неверным результатам. Однако важно уметь отличать существенное от несущественного при записи пояснительного текста. Например, нет необходимости пояснять, что обе части уравнения возводятся в квадрат, записывать в общем виде формулы корней квадратного уравнения, тригонометрические тождества и т.д. Но должны быть обоснованы отброшенные корни, отсутствие корней, взаимное расположение прямых, построение линейного угла в двугранном угле, расположение основания высоты в пирамиде, положение и форма граней, угол между прямой и плоскостью, расстояние между скрещивающимися прямыми и т.д. Другими словами надо обосновывать все то, что не является очевидным по ходу решения задачи, и объяснять дополнительные построения, если они производились.

3. Полнота решения. При решении математической задачи должны быть рассмотрены все возможные случаи, если это предполагает условие. Неполнота решения является существенным недостатком при решении задачи.

Например:

Если в равнобедренном треугольнике угол 44°, то он может быть и при вершине, и при основании.

4.Рациональность решения. Если задача допускает несколько способов решения и с ними знаком ученик, то весьма желательно, чтобы приводилось рациональное решение.

5.Соблюдение правил правописания. Решение математической задачи не должно содержать орфографических, пунктуационных и речевых ошибок. Если они присутствуют, то они должны исправляться учителем.

При оценивании экзаменационных работ учитывается характер допущенных существенных и несущественных ошибок. Количество баллов за выполнение задания снижается на 10 %, если в нем допущена несущественная ошибка. Если при выполнении задания допущена существенная ошибка, то задание считается невыполненным.

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Понятие “решение задачи” можно рассматривать с различных точек зрения: решение как результат, т.е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата.

С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который в свою очередь, тоже можно рассматривать с различных точек зрения Во-первых, как способ нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, который входят в тот или иной способ.

Задача

Восемь яблок разложили по 2 на несколько тарелок. Сколько понадобилось тарелок?

Учащиеся могут решить эту задачу, не имея никакого представления о делении и о записи этого действия, а только опираясь на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 8. Для этого они отсчитывают 8 яблок, положат 2 на одну тарелку, затем 2 на другую и т.д. пока не разложат все. Посчитав количество тарелок, они ответят на поставленный вопрос. Такой способ и называется практическим или предметным. Его возможности ограничены, так как учащийся может выполнить предметные действия только с небольшим количеством предметов. Усвоив смысл действия деления и его запись, можно решить эту задачу уже не практическим, а арифметическимспособом, записав равенство 8 : 2 = 4.

Для решения можно применить алгебраический способ, рассуждая при этом так: “Число тарелок неизвестно, обозначим их буквой Х. На каждой тарелке 2 яблока, значит число всех яблок — это 2х. Так как в условии известно, что число всех яблок 8, то можно записать уравнение 2х = 8 и решить его х = 8 : 2, х = 4”.

Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие, называются простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действий, то такие задачи называются составными. Составную задачу, так же как и простую можно решить, используя различные способы.

Например.

Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные щуки.

Сколько щук поймал рыбак?

Практический способ.

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим

пойманных рыб: л — лещи, о — окуни.

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует тем кругам, которые не обозначены (их З).

Арифметический способ

1) 3 + 4 = 7 (р.) — пойманные рыбы

2) 10-7=3 (р.) — щуки

Для ответа на вопрос задачи мы выполнили два действия.

Алгебраический способ

Пусть х — пойманные щуки

Тогда количество всех рыб можно записать выражением:

3 + 4 + х — все рыбы

По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб.

Значит 3 + 4 + х = 10

Решив это уравнение, мы ответим на вопрос задачи.

Графический способ

•—л—••—л—••—л—••—ок—••—ок—••—ок—••—ок—••—щ—••—щ—••—щ—•

Этот способ, так же как и практический, позволяет ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

В начальных классах используются различные формы записи решения задач по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением.

Например.

У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12 на вторую. Остальные на третью. Сколько книг на третьей пилке?

а) решение по действиям

1) 28 — 12 = 40 (к.)

2) 90 — 40 = 50 (к.)

Ответ: 50 книг на третьей полке.

б) по действиям с пояснением

1) 28 + 12

= 40 (к.) на 1 и 2 полках вместе.

2) 90 — 10 = 50 (к.) на 3 полке.

Ответ: 50 книг.

в) с вопросами

1) Сколько книг на первой и второй полках вместе?

28 + 12 = 40 (к.)

2) Сколько книг на третьей полке?

90 — 40 = 50 (к.)

Ответ: 50 книг.

г) выражением

90 — (28 + 12)

При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

90 — (28 + 12) = 50 (к.)

Ответ: 50 книг.

Не следует путать такие понятие как: решение задачи различными способами (практический, арифметический графический, алгебраический), различные формы записи арифметического способа, решения задачи (по действиям, выражением по действиям с пояснением, с вопросами) и решение задачи различными арифметическими способами. В последнем случае речьидет о возможности установления различных связей между данными и искомым, а, с следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.

Например, рассмотренную выше задачу можно решить другим арифметическим способом:

1) 90 — 28 = 62 (к.) на 2 и3 полках.

2) 62 — 12 = 50 (к.) на 3 полке.

Ответ: 50 книг.

В качестве арифметического способа можно рассматривать и такое решение данной задачи:

1) 90 — 12 = 78 (к.) на 2 и 3 полках.

2) 78 -28 = 50 (к.) на З полке.

Ответ: 50 книг.

В числе способов решения задач ложно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического способа, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание схема моделирует только связи и отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство) Тем не менее моделирование текста задачи в виде схемы иногда позволяет ответить не вопрос задачи.

Например.

Когда из гаража выехало 18 машин, в нем осталось в 3 раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже?

Решение этой задачи арифметическим способом довольно сложно для ребенка. Но если использовать схему, то от нее легко перейти к записи арифметического действия. В этом случае запись решения будет иметь вид:

Осталось

Добавить комментарий

Закрыть меню