Невырожденный треугольник

Казакова Г.Г. , доцент кафедры геометрии ХГПУ

Рисунок 1. Центроид треугольника

Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).

Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.

Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B) , а радиус-векторы точек (и обычные векторы) — жирным курсивом (например A, G, BC, b).

1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов — точки О.

По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М — середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,

G=(A+B+C)/3 (1)

Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М — середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.

2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен

H = A+B+C (2)

Рисунок 2. Ортоцентр треугольника

В самом деле, векторы A+B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(H-C).

По этой же причине B+C = m(H-A).

После почленного вычитания этих равенств получаем:

A-C = (l — m)H — lC + mA или

(1 — m)A + (l — 1)C + (m — l)H = 0

и при этом сумма коэффициентов

(1 — m) + (l — 1) + (m — l) = 0.

Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:

либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда

(1 — m) = (l — 1) = (m — l) = 0.

Значит, имеет место последнее:

m = l = 1

и тогда H = A+B+C.

Так как при любом выборе начала векторов точки О

G=(A+B+C)/3

то в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2. Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС.

Теорема 1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Рисунок 3.

Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус — векторов точек. Если точка Е1 симметрич­на Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :

(B+C)/2 = (H+E1)/2, или

E1 = B + C — H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и

E12 =A2 =R2.

Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность — в точке Н1. Если ОД перпендикулярна ВС и ОF перпенди­кулярна АК, то:

K = D+F, D = (В+C)/2, F = (A+H1)/2 и, значит, K = (B+C+А+H1)/2 = (H+H1)/2 , т.е. Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказатель­ство аналогично.

Теорема 2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек треугольника.

Доказательство: За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности (смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот, через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3).

Если L — середина отрезка ОН, то

L = H/2 = (A + B + C)/2,

LO1 = O1 — L = (B + C)/2 -(A+B+C)/2 = -A/2,

LK1 = K1 — L = (A + H)/2 — H/2 = A/2.

Рисунок 4.

Таким образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е. принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у которых совпадает две или три вершины.

3. Треугольник с двумя совпавшими вершинами.

Если вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к описанной около треуголь­ника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет равна нулю.

Итак, определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырож­денный треугольник) можно двояко:

1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;

2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.

В последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а в точке В, лежащей на ней.

Такая окружность — единственная.

В полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна нулю, а углы В и С — смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна 1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырож­денного треугольника.

Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).

Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.

Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:

Если АВ — хорда окружности, а — касательная к ней в точке В и перпендикуляры из точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат данной окружности (рис.5).

Рисунок 5

Для обычного треугольника имеет место теорема Симпсона:

ортогональные проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника.

Для треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки М1 є М2 и М3 всегда определяют прямую линию (рис.6).

Однако, так как DММ1В~DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:

Если АВ — хорда окружности и а — касательная к ней в точке В, то произведение расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной.

Рисунок 7

Теорема 2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может быть сформулирована так:

Если АВ — хорда окружности, а — касательная к ней в точке В и перпендикуляры АH1 к прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания H1 и В этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса данной окружности.

Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).

Рисунок 6

Такой треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и H=3A, т.е. ОАН — прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка Н’, симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого треугольника.

Чтобы выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как РММ1В = РММ3В = 900 , то точки М1 є М2 и М3 принадлежат окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7).

Окружностью девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной окружности.

Список литературы

Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение, 1968.

Скопец З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.

У этого термина существуют и другие значения, см.

Вырождение.

Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые, даже будучи взятыми вместе, не дают полного представления о всём классе. Предельно простые объекты называют тривиальными.

Ссылки

  1. Определение треугольника может исключать вырожденный случай.
  2. 12Энциклопедический словарь, 1988, с. 130.
  3. 12Математический словарь, 1989.
  4. Энциклопедический словарь, 1988, с. 318.
  5. Фаддеев, 1998, с. 618.
  6. Фаддеев, 1998, с. 219.
  7. Фаддеев, 1998, с. 289.
  8. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1071.
  9. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1081.
  10. Математический словарь, 2007, с. 48.

Когда живешь втроем и любовь делится «на троих», обязательно наступит момент, когда двое выговориваются с третьим до конца. Не потому, что вам не о чем больше говорить, просто кажется, что между вами все уже сказано. Вот тогда то вы и начинаете болтаться по улицам как Грег.
Мы с Никой называли такие отношений с Грегом «пятки вместе, носки врозь». Не поняли?.. Становимся ровно, ноги на ширине плеч. Наши ноги образовывают обычный треугольник, в котором сами ноги — это бедра равнобедренного треугольника, расстояние между пятками — основание треугольника.

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Теперь становимся в позу «пятки вместе, носки врозь» — у нас получился вырожденный треугольник. «Вырожденным» такой треугольник называется потому, что до полноценного треугольника ему не хватает одной стороны. Она, разумеется, есть, на самом деле, но она тоже самое, что и сумма двух других.
Есть она или нет — тут как тебе захочется. Вряд ли, по вопросу о «шведской семье» есть консенсус. Это примерно тоже самое, как натуральность нуля — в некоторых странах (Франция, например) ноль натурален. Т.е ноль, либо возникает естественным образом при счёте, либо не возникает. Странно, конечно, ведь, как говорил Паскаль: «математическая истина одинакова и в Париже, и в Тулузе». Но, когда делится «на троих» любовь — о математике как то не вспоминаешь. Любовь не имеет ничего общего с математической истиной — это просто частная договоренность. А математика — это искусство рассматривать объекты с разных, но общих точек зрения. Но ты никогда по-настоящему не поймёшь человека прежде, чем посмотришь на вещи с его точки зрения. Пока не залезешь в его шкуру и не походишь в ней.
Как бы то ни было, человек может играть силами природы и быть одновременно другим и самим собой лишь до определенных пределов; то, что вы создали, обернется против вас. Может, именно это и произошло в нашей «шведской» семье — выродился Грег, перестав залезать в наши шкуры. Почему? Я не знаю. В натуральном идеале каждому мужчине в любом возрасте одновременно нужны не одна, а две женщины: одна, заботящаяся о нем и заменяющая ему мать, и, другая, являющаяся прототипом дочки, о которой заботиться должен уже он сам. Не знаю, что именно случилось с Грегом или с нами, но очевидно нельзя сопротивляться жизни, надо идти туда, куда она влечет. Все же есть Создатель на небе и Он — упрямая вещь!
Нам показалось: Дьявол гораздо сговорчивее — Грег — «вернулся» через месяц. Объяснил — для восприятия истины потребовалось место и время. Видимо, пока он шлялся по улицам, Дьявол гарантировал ему покой, хорошее питание и абсолютную изоляцию от адской жизни, если он останется в «треугольнике». Нам показалось.
Но оказалось всё по другому. Ещё год назад Грег жил счастливо. Он начинал свой день с чашки кофе на троих, заканчивал чашкой горячего шоколада опять на троих. Но, согласитесь, ничто так не усложняет жизнь, как раковые клетки. Они живут своей жизнью, когда не следишь за ними.
Но, если наблюдаешь…
Видимо, нереально передать словами то колдовство, которое возникает в душе, когда на работе и по соседству один за другим умирают от одной болезни. От рака легких умер редактор Грега, от рака крови — профессор литературы в колледже, мать Грега ушла из жизни, когда ему было пятнадцать лет. У неё случился рак груди.
В жизни так часто бывает: врачи начиная с определенного возраста кажутся более честными и порядочными людьми, чем агенты по недвижимости, продавцы, полицейские или автомеханики. Логика выбора критерия честности, конечно, почище кафкианского абсурда — диагноз неизлечимых с смертельных заболеваний… В смысле, рак можно было бы и ждать всю жизнь, и игнорировать всегда — в этой ситуации будет всегда чего-то особеннее аромата Noir Tom Ford в Авгиевых конюшнях или мороза на Кубе . Но психология человека такова: он всегда найдет, чего бояться.
Год назад Грег стал бояться умереть от рака. И однажды он решил:
«Пока нам разрешено есть, дышать, и передвигать ноги, — так рассуждал Грег, — пора привыкать к химиотерапии». И он стал ходить в онкологический центр, где больные проходят химиотерапию, а заодно и готовить материал для будущей книги.
Он назвал её «Cмерь — дело умирающих».
Нет, вы послушайте её начало — смешное, ироничное, обещающее парадокс:
«Cмерь — дело самих умирающих. Доказательство — эксперимент с Котом Шредингера…
Допустим, коты есть — и живой и мертвый. Это аналогично отношениям. Допустим, человек засомневался: любит ли он другого. Одна часть говорит текст за любовь, другая — против. Обе части отдалились друг от друга настолько, что не знают что делает одна, а что — другая: к примеру, одна часть улетела в Тулуз, а вторая — осталась в Париже. Представим, что в Тулузе кто-то обьяснил человеку. Допустим, что он любит. Тогда, в соответствии с законами квантовой механики, состояние этого человека изменилось — произошла редукция его состояния. Из смешанного состояния он перешел в чистое.
Парадокс заключается в том, что в тот же самый момент, когда одна часть в Тулузе перешла в чистое состояние, вторая в Париже также изменила свое состояние — перешла из смешанного в чистое состояние, ровно с противоположной поляризацией — не любит. Это противоречит здравому смыслу, так как означает, что можно на расстоянии воздействовать на состояние человека, тем самым нарушая принцип причинности, который указывает на то, что интервал между событиями в Тулузе и Париже должен быть времениподобен (первое событие предшествует второму в любой системе отсчёта).
Это наблюдение звучит еще более парадоксально, если учесть, что если в какой-то инерциальной системе отсчета два события одновременны, то обязательно есть инерциальная система отсчета, в которой второе событие происходит раньше первого. То есть это все равно, что умерший Кот Шрёдингера воскрес»…
Мы же с Никой думали Грег «шляется по улицам» — он «не влезает в наши шкуры». Оказалось, кто то за нас произносил этот чужой текст. Теперь, когда опубликована новая книга Грега, даже лексически видно, что эта мысль была чужда нашему «треугольнику», и это не он, а мы не захотели влезать в его шкуру.
«В онкологических центрах приучают верить в чудеса. Медицинские — это как выпить праздничный мартини. Он как обычный мартини, только с кучей водки — медсестры, буквально, как хорошие родители детям рассказывают добрые сказки с хорошим концом, а в страшных сказках наиболее страшные слова замарывают фломастером. Иногда, и в самом деле, чудо наступает тогда, когда кажется, что сказка уже подошла к концу. Впрочем, иногда возникает желание не читать, а наоборот — написать сказку самому».
Она заканчивается у Грега такими словами: «раковые клетки живут своей жизнью, когда не следишь за ними, но, если наблюдаешь…»
Конец.
Но, оказалось, смерть — примерно тоже самое, как натуральность нуля. Многие думают, что если их «третий» выродился, то жизнь станет «как у всех». Оно так не работает.
На сороковой день позвонил Грег:
— Отгадайте, где я — в аду или парадайзе?
— Вот сволочь!.. А можно — с двух раз?

Связаться с программистом сайта.

Сайт — «Художники» .. || .. Доска об’явлений «Книги»

Добавить комментарий

Закрыть меню