Многочлен от одной переменной

Похожие главы из других работ:

Алгоритмы с многочленами

1. Многочлены

Общий вид уравнения n-ной степени (где n некоторое положительное число) есть . (1.1) Коэффициенты этого уравнения мы будем считать произвольными комплексными числами…

Жизнь и деятельность семьи Бернулли

Числа и многочлены Бернулли

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел B0, B1, B2…

Корни многочленов от одной переменной

§1. Многочлены от одной переменной

Линейные диофантовы уравнения

3.1. ЛДУ c одной неизвестной.

Рассмотрим линейное уравнение с одной неизвестной, т.е. уравнение вида Ясно, что решением данного уравнения будет , и решение будет целым числом только в том случае, когда…

Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

Глава I. Теоретические аспекты по теме многочлены

Минимакс и многокритериальная оптимизация

1.3 Функция одной переменной

Это самый тривиальный случай, заключающийся в исследовании поведения функции на некотором промежутке. Рассмотрим функцию y=f(x) с ограничением x ? . Функция является непрерывной на данном промежутке…

Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

1. Многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега…

Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

2. Многочлены Чебышева

Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов Tn(x) и Un(x), названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений…

Многочлены Чебышева и их основные свойства

Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной

Определение 1. Пусть и — ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Кольцо называется простым расширением кольца с помощью элемента , если выполняются следующие условия: 1) — подкольцо кольца ; 2) , и записывают . Определение 2…

Многочлены Чебышева и их основные свойства

Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства

Основные методы решения неравенств

2 Линейные неравенства с одной переменной

Линейным неравенством называется неравенство вида или. Решая линейное неравенство вида , получим: . Возможны три случая: 1) тогда; 2) тогдаи если при этомто решений нет, а если,то. Пример. Найти наибольшее целое ,удовлетворяющее неравенству…

Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

3.3.1 Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей-ствием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ)…

Решение заданий по высшей математике

28. Функция одной переменной, график, способы задания

Сравнительный анализ методов оптимизации

1.2 Минимум функции одной переменной

Пусть функция f (x) определена на множестве U вещественной оси R.

1. Число х* U называется точкой глобального (абсолютного) минимума или просто точкой минимума функции f (x) на множестве U, если f (x*) f (x) для всех х U…

Судоку и хроматические многочлены

1. Хроматические многочлены

m-раскраска графа G — отображение f между вершинами G и множеством {1, 2,…, ь}. Такое отображение называется соответствующей раскраской, если f (x) <>f (y) всякий раз, когда x и y смежные в G. Минимальное количество цветов требовавшихся…

над полем k — элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение

в тождество.

  • Если c является корнем многочлена p(x), то p(x) делится без остатка на x − c (теорема Безу).
  • Число вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами степени n заведомо меньше либо равно n. При этом комплексные корни многочлена (если они есть) сопряжены, таким образом, многочлен четной степени может иметь только четное число вещественных корней, а многочлен нечётной — только нечётное.
  • Всякий многочлен p(x) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный корень (основная теорема алгебры).
    • То же верно для любого алгебраически замкнутого поля.
    • Более того многочлен p(x) можно записать в виде

где — (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.

  • Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета

Теорема тождественности

В сложный анализ, теорема тождественности для голоморфные функции положения: дали функции f и g голоморфно на a соединено открытого множество D, если f = g на некотором районе z то внутри D, после этого f = g на D. Таким образом голоморфная функция вполне обусловлена своими значениями на районе a (по возможности довольно малого) внутри D. Это не поистине для реальн-differentiable функций. В сравнении, голоморфностью, или сложным-differentiability, будут очень более твердая придумка. Неофициально, иногда суммировать теорему путем говорить голоморфные функции «трудно» (в отличие от, мнение, непрерывные функции которые «мягки»).

Underpinning факт от теорема установлено developability голоморфной функции в свою серию портноя.

Доказательство

Предположение connectedness на домене D будет обязательно и будет в действительности ключево к скоро доказательству, котор дали здесь. (Очевидно если D consist of 2 disjoint открытого множество, результат не держит.) под этим предположением, в виду того что мы даемся что комплект не пуст, топологически сумма иска к тому f и g совпадите на комплекте оба открыто и закрыто. Closedness немедленно от непрерывность f и g.

Поэтому главный вопрос должен показать что комплект на f = g совпадите на открытого множество. Потому что голоморфная функция может быть представлена своим Серия портноя везде на своем домене, достаточно рассматривать комплект

Предположите w лож внутри S. После этого, потому что серия портноя f и g на w имейте non-zero радиус схождения, открытый диск Br(w) также лежит внутри S для некоторого r. (В действительности, r может быть что-нибыдь чем расстояние от w к границе D). Это показывает S будет открыто и доказывает теорему.

Алгебраически замкнутое поле — поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что

Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Эквивалентная формулировка теоремы следующая:

Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Следствие

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет в нём ровно корней, с учётом кратности корней.

Доказательство.

У многочлена есть корень , значит, по теореме Безу, он представим в виде , где — другой многочлен. Применим теорему к и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте не окажется линейный множитель.

Доказательство.

Представим полином в виде суммы , где , .

Составим соотношение . Легко видеть, что для любых коэффициентов всегда найдется такое значение , что для всех значений имеет место неравенство . В силу теоремы Руше следует, что полное число нулей функции в круге равно числу нулей в этом круге функции . Но функция на всей комплексной плоскости имеет один единственный n-кратный корень . Отсюда, в силу произвольности и следует утверждение теоремы.

Тождественное преобразование, приводящее к произведению нескольких множителей — многочленов или одночленов, называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Добавить комментарий

Закрыть меню