Математическое понятие

Беседа 5. Математические понятия и их определения

Всякий математический объект обладает какими-то свойствами. Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; 2) три внутренних угла; 3) шесть попарно равных внешних углов и т. д. Подобные утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства называются суждениями. Вот еще примеры суждений: 1) четырехугольник имеет две диагонали; 2) за каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду другое натуральное число; 3) четное число делится на два и т. д.

Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например: «5 больше 3», «АВ является стороной треугольника ABC», «Угол А не является смежным с углом В» и т. д. А вот вопросы или требования не являются суждениями.?

Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения. Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Несущественные свойства — это обычно случайные, их отсутствие, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.


Рис. 3

Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник, изображенный на рис. 3. Его свойства: 1) стороны треугольника АВ и ВС равны; 2) медиана BD перпендикулярна основанию АС и делит угол В пополам — это существенные свойства этого треугольника. А вот свойства: 3) основание АС равнобедренного треугольника ABC горизонтально или 4) вершина равнобедренного треугольника обозначена буквой В — являются несущественными. Если мы как-то повернем этот треугольник и его основание при этом окажется расположено не горизонтально или обозначим вершину какой-то другой буквой, то ведь треугольник не перестанет быть равнобедренным.

Поэтому, чтобы понимать, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие — это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте.

Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием). Так, когда говорят о математическом объекте — треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же множество всех натуральных чисел составляет объем понятий о натуральном числе. Следовательно, объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Итак, всякое понятие имеет определенный объем и . Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.

В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.

Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.

Например, определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Как видим, это определение построено так: сначала указано название объекта определяемого понятия — параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм — это четырехугольник; 2) противоположные его стороны параллельны. Первое свойство — это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство — это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника. Вот еще пример определения: «Четными числами называются такие натуральные числа, которые кратны числу 2». Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:

В данном случае мы имеем: название определяемого понятия — четные числа, родовое понятие — натуральные числа, видовые отличия — кратны числу 2.

Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.

Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое понятие для треугольника — фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис — происхождение). Вот еще пример генетического определения: «Симметрией относительно точки называется такое преобразование фигуры F в фигуру F’ при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X’ фигуры F’, построенной следующим образом: на продолжении отрезка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ’, равный ОХ». Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии относительно точки от других видов преобразований указан способ построения точек фигуры F’, симметричной фигуре F относительно точки О.

Встречаются в математике и такие определения, в которых указывается, как можно получить объекты определяемого понятия один за другим по порядку. Например, определение арифметической прогрессии дается таким образом: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией». Здесь определяемое понятие — арифметическая прогрессия, родовое понятие — числовая последовательность, в качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это определение можно записать в виде следующей формулы:

Такое определение называется индуктивным (от слова индукция — наведение на умозаключение от частного к общему) или рекуррентным (от слова рекурсия — возвращение).

Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными.

Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества (совокупность) и некоторые другие.

Итак, второе, чему нужно научиться в математике, — это умению строить определения математических понятий каким-либо способом. Это умение довольно сложное, и мы о нем поговорим еще в следующей беседе. А пока выполните следующее задание, чтобы закрепить те сведения, которые вы получили в данной беседе.

Задание 3

3.1. Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:

а) Две стороны трапеции параллельны.

б) Оба угла при большем основании острые.

в) Сумма углов трапеции, принадлежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

г) Основания трапеции горизонтальны.

д) Оба угла при меньшем основании трапеции тупые.

3.2. Как связаны между собой математические объекты и математические понятия?

3.3.Укажите, какие из приведенных ниже предложений являются суждениями, а какие ими не являются:

а) В треугольнике проведены три медианы.

б) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

в) Чему равно произведение степеней с одинаковыми основаниями?

г) Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

3.4. В приведенных ниже определениях выделите название объектов определяемых понятий, родовое понятие и видовые отличия:

а) Числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными.

б) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

в) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

г) Если точка О является серединой отрезка АВ, то точки A и В называются симметричными точками относительно точки О.

3.5. Сформулируйте генетическое определение окружности, зная, что она образуется в результате вращения отрезка на плоскости вокруг одного из его концов, второй конец этого отрезка в этом случае описывает окружность.

3.6. Члены последовательности Фибоначчи (ок. 1170-1250) задаются с помощью следующей формулы: аn+2=аn+1+an. Сформулируйте определение этой последовательности. Какое это определение?

3.7. Приводим следующее описание построения перпендикулярных прямых: «Пусть а и b — две пересекающиеся прямые. При их пересечении образуются четыре угла. Пусть α — один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом α, либо вертикальным с углом α. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом, и называем их перпендикулярными».

На основе этого описания сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

3.8. Модуль числа определяется следующей формулой:

Сформулируйте словесное определение модуля числа.

3.9. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего члена. Запишите это определение с помощью формулы.

3.10.Как вы знаете, равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны, а правильный треугольник — это такой, у которого все стороны равны. Является ли правильный треугольник равнобедренным?

3.11. Укажите ближайшие родовые понятия для следующих понятий: а) квадрат; б) степень с натуральным показателем; в) вертикальные углы; г) простое число; д)хорда.

3.12. Укажите несколько родовых понятий для понятия ромб.

3.13. Нужно ли (и можно ли) доказывать определения?

Задача этой книги — показать место основных понятий школьной математики в гораздо бо лее широкой системе представлений высшей математики и в этих рамках строго и последовательно Изложить понятия школьной (элементарной) математики с точки зрения высшей математики (которая отождествляется с содержанием пединститутских курсов алгебры и теории чисел, анализа, геометрии, математической логики и теории алгоритмов).
Хорошо известно, что многие выпускники пединститутов — будущие учителя, испытывают затруднения в своей профессиональной области — школьной математике. Это касается умения решать элементарные задачи и, в еще большей степени, понимания тонких вопросов элементарной математики, умения связывать те обширные математические теории, которые изучаются в течение четырех-пяти лет в пединституте, с конкретными вопросами элементарной математики. Цель пособия — помочь преодолеть две последние из отмеченных трудностей, способствуя тем самым усилению профессиональной направленности в подготовке учителя.
В первых главах рассматриваются наиболее традиционные понятия школьной математики: элементарные функции, угол, измерение углов (глава 1); вектор, плоскость, планиметрия (глава II); величина, площадь и мера плоской фигуры (глава III), геометрические построения циркулем и линейкой, решение алгебраически?, равнений низших степеней в радикалах (глава IV).
Менее элементарную направленность имеют глава V и приложение 4. Поэтому чуть подробнее коснемся их содержания. В § 1 главы V детально рассматривается построение системы натуральных чисел — основы всех числовых систем. В § 2 этой главы традиционный подход к понятию рационального числа сравнивается с другим подходом, в рамках которого, рациональное число — функция. В § 3 рассматриваются основные способы перехода от рациональ- ных чисел — дискретного объекта к вещественным и комплексным числам — непрерывным объектам (в § 5 эта линия изложения продолжается переходом от рациональных чисел к нечисловым радическим полям). В целом § 3, 4, 5 пятой главы посвящены алгебротопологическим свойствам вещественных чисел; включение этого материала связано с тем, что именно сочетание алгебраических и топологических свойств создает вещественным и комплексным числам уникальное положение в математике. Приложение 4 содержит подробное изложение элементарных вопросов неевклидовой планиметрии. Ясное понимание евклидовой планиметрии (о которой говорится в главе II), по-видимому, предполагает для контраста, знакомство с неевклидовой планиметрией.
Для согласования терминологии и обозначений после предисловия приводится материал, содержащий некоторые общие понятия высшей математики; эти понятия играют в книге подсобную роль — языка, на котором говорится о школьной математике. Правильно рассматривать их как специализированную часть русского языка, подобную языку врача, химика или биолога. Разумно обращаться к этому материалу лишь в том случае, если какие-то обозначения или термины, употребляемые в книге, оказываются для читателя новыми и их смысл не ясен из контекста.
Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями школьной математики на том предварительном уровне понимания, который выносится из школы и первых трех курсов пединститутов. Также предполагается некоторая опытность читателя в оперировании с основными алгебраическими, топологическими и логическими понятиями из упомянутых математических курсов; однако фактическое сбдержание этих курсов может быть не знакомо (или почти не знакомо) читателю. Поэтому изложение в книге ведется постепенно, как правило, с полными определениями и доказательствами; от читателя в основном требуется умение не спеша разбирать временами довольно длинные построения. Параграфы 5, 6 пятой главы предъявляют более высокие требования к читателю, так как изложение в них носит обзорный характер.

В книге встречаются довольно абстрактные понятия, такие, как индуцированная топология, топологическое пространство, подгруппа, гомоморфизм, связность, локальная компактность, действие, модуль, однако они употребляются исключительно для случаев (…) . Конечно, для таких простейших случаев эти понятия можно заменить соответствующими частными, внешне более простыми выражениями. Например, вместо локальной компактности можно говорить о наличии окрестности, являющейся отрезком или дугой, включающей концы. Такая замена вряд ли приведет к упрощению существа дела и в то же время сделает многие формулировки внешне тяжеловесными и специфически привязанными к каждому из отдельных случаев; тем более, что эти понятия рассматриваются в основных математических курсах. Для некоторых категорий читателей такая замена абстрактных терминов соответствующими элементарными выражениями может быть полезным упражнением, относящимся по существу не к математике, а к русскому языку.
Степень детальности в рассмотрении того или иного понятия школьной математики различна и зависит от внимания, которое ему уделяется в основных математических курсах.

Так, понятия элементарной функции, угла и измерения углов их элементарных аспектах известны студенту старших курсов врчти на том же уровне, что и выпускнику школы. Поэтому здесь Изложение носит систематический характер.
Понятие вектора обычно определяется аксиоматически, как элемент произвольного векторного пространства. При всей важности такого аксиоматического подхода нужно представлять себе и конкретные модели аксиоматического определения вектора, в том числе только простейшую модель вектора как направленного отрезка, менно разнообразие этих моделей придает понятию вектора фундаментальное значение. Поэтому подробно рассматриваются различные конструктивные подходы к понятию вектора.
Понятие геометрической плоскости тщательно изучается в курсе геометрии, поэтому мы касаемся его бегло, только в плане адекватности различных определений плоскостй интуитивному представлению о ней. Понятие планиметрии с аксиоматической точки зрения также подробно рассматривается в курсе геометрии, и мы саемся его только в обзорном порядке. Однако при всей важности Аксиоматического понимания планиметрии существенна и клейновская точка зрения на нее. Поэтому подробно рассматривается клейновский подход и, в частности, вычисляются все инварианты ортогональной группы, которые и образуют с этой точки зрения евклидову планиметрию.
Понятие величины подробно рассматривается в книге, так как а сущности оно отсутствует в основных математических курсах. Столь же подробно рассматриваются и сравниваются различные способы измерения площади многоугольника, и в этой связи напоминается аксиоматическое определение площади многоугольника.
Мера понимается как продолжение функции площади с множества многоугольников на более широкое множество криволинейных фигур. В то же время мера определяется аксиоматически и эти два подхода тщательно сравниваются. Затем на основе аксиоматического определения меры (без использования интегралов) вычисляются ее значения для круга, сектора, сегмента и т. п. элементарных плоских фигур. В курсе анализе рассматривается мера Лебега только на прямой, здесь по существу рассматривается мера Лебега на плоскости. Таким образом, в этом вопросе, как и в других, автор стремился обеспечить преемственность излагаемого материала по отношению к основным курсам.
. Подробно рассматриваются классические задачи об удвоении Объема куба, трисекции угла и построении правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. При этом доказывается невозможность таких построений.
Затем подробно изучается вопрос о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 5. Доказывается теорема Г алуа. На ее основе находятся известные формулы для решения уравнений степени, меньшей или равной 4.
В книге большинство вопросов рассматривается с точки зрения инвариантов подходящей группы преобразований, т. е. ннвариантов действия подходящей группы; иными словами, с точки зрения непрерывных гомоморфизмов простейших групп. Можно надеяться, что такая точке зрения придает книге цельный, единообразный характер.
В книге можно найти материал для факультативных занятий в школе. Однако вопросы преподавания математики в школе и вопросы изложения ее в школьных учебниках здесь не рассматриваются. В этом, как и в других отношениях, автор старался следовать духу книги Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей». Книга Ф. Клейна своей конкретной содержательностью мало похожа на ряд современных изложений элементарной математики, в которых на первый план выдвигаются вопросы формально-логического порядка, например вопросы такого типа, как является ли элементарная функция множеством пар или отношением; кажется, что такого рода вопросы маловажны для существа дела.
Автор неоднократно читал лекционный курс, одноименный с названием книги, для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей и студентов пятого курса математического факультета. Эти лекции были отпечатаны и после некоторой правки составили рукопись книги; поэтому особенности, терпимые в лекционном изложении, к сожалению, перешли в книгу.
Приложение 4 написано П. В. Семеновым. Автор благодарит его также за большую помощь в подготовке рукописи.
Автор глубоко признателен В. Т. Базылеву, К. И. Дуничеву, Л. Я. Куликову, В. И. Мишину, А. И. Москаленко, Р. С. Черкасову, Е. П. Шимбиревой, Е. А. Щеголькову за ценные советы и указания во время работы над курсом и книгой.
Автор посвящает книгу своим детям Василине и Елене.

Математическое определение

Cтраница 1

Математические определения хороши для математики — там можно полностью и до конца следовать логике, а физический мир сложен.  

Математическое определение этих напряжений представляет в настоящее время трудную задачу. Поэтому одним из средств решения вопроса о долговечности сильфонов является опытное определение срока службы на большом числе сильфонов при различных величинах хода и давления.  

Вышеприведенное математическое определение является строгим, но не окончательным. Желая уточнить его, мы могли бы предложить несколько, на первый взгляд, вполне естественных поправок, однако здесь следует соблюдать известную осторожность.  

Математическое определение эталонного уровня относительно просто, а уточнение его по отдельным точкам не является затруднительным.  

Математическое определение понятия сложности было дано в работах Яблонского в 1959 г. Но оно относится к схемам или автоматам, состоящим из элементов, реализующих функции алгебры логики, или к комбинаторным задачам. При этом под сложностью понимается число элементарных блоков, из которых состоит система.  

Математическое определение температуры цилиндра основывается на знании температуры охлаждающего воздуха. Поэтому определение разности температур между стенкой и охлаждающей средой является важнейшим фактором для понимания процесса теплопередачи.  

Математическое определение величины тс, таким образом, не является точным, но ясно, что тс определяет величину промежутка времени, в течение которого существует корреляция. Величина тс называется временем корреляции, и очевидно, что это время значительно больше для молекул сахара в патоке в январский мороз, чем для тех же самых молекул, растворенных в воде при комнатной температуре.  

Математическое определение обратной связи имеет чисто формальный смысл, как и петля направленного графа. Оно позволяет вскрыть некоторые математические закономерности, но полностью лишено физического содержания, в чем нетрудно отдать себе отчет, применив формулу ( 2 — 1) к произвольной системе линейных алгебраических уравнений.  

Математическое определение понятия семантики языка ( даже формального) в настоящее время еще неизвестно. Можно, конечно, дать псевдоопределение: семантикой языка L называется отображение, ставящее в соответствие каждому предложению этого языка определенный элемент некоторого множества понятий. Однако здесь неизвестны две вещи: что такое понятие и каким образом можно задать указанное соответствие. Несмотря на отсутствие в настоящее время общего определения семантики, в некоторых частных случаях мы можем сформулировать условия, при выполнении которых язык обладает семантикой. Поэтому приходится ограничиться определением понятия семантики языка, являющимся перечислением этих частных случаев. К сожалению, при этом, сколько бы ни было перечислено частных случаев, всегда остается сомнение в полноте определения.  

Математическое определение внутреннего напряженного состояния в ограниченной части или во всей твердой внешней сферической оболочке Земли — одна из главных задач геомеханики, сопряженная, однако, со значительными трудностями. Причина этого состоит в том, что, во-первых, система огромных вековых внешних массовых сил, которые обусловливают суточные упругие деформации коры и за геологические времена вызвали пластические деформации и перемещения частей наружной сферической оболочки, не может быть еще определена с приемлемой достоверностью. Во-вторых, мало изучено комбинированное влияние гидростатического давления р и температуры 0, возрастающих на большой глубине до высоких значений, на упругость, вязкость и пластическое поведение пород в коре на больших глубинах.  

Математическое определение понятия семантики языка ( даже формального) в настоящее время еще неизвестно. Можно, конечно, дать псевдоопределение: семантикой языка L называется отображение, ставящее в соответствие каждому предложению этого языка определенный элемент некоторого множества понятий. Однако здесь неизвестны две вещи: что такое понятие и каким образом можно задать указанное соответствие. Несмотря на отсутствие в настоящее время общего определения семантики, в некоторых частных случаях мы можем сформулировать условия, при выполнении которых язык обладает семантикой.

Поэтому приходится ограничиться определением понятия семантики языка, являющимся перечислением этих частных случаев. К сожалению, при этом, сколько бы ни было перечислено частных случаев, всегда остается сомнение в полноте определения. Более подробно на понятии семантики формальных языков мы остановимся в § 5.5.5, здесь же ограничимся некоторыми сведениями, необходимыми для правильного понимания ближайших глав.  

Математическое определение понятия полной наблюдаемости системы (13.1) связано с нахождением матрицы наблюдаемости R № и вычислением ее ранга.  

Вводится математическое определение непосредственно декомпозируемой и непосредственно агрегированной задачи.  

Каковы математические определения истинного и средних ( первого и второго) показателей политропы; в какие соотношения входят эти показатели и как получается уравнение политропы с переменным показателем.  

Добавить комментарий

Закрыть меню