Математическая логика

Конструктивная математика

Акимов О.Е.

3. Логика и математика как два метода познания

Термин логика произошел от греческого logoz, что переводится как речь, произнесенное слово; данный термин связан с глаголом говорить. У пифагорейцев обратное действие — слышать (akouw) — порождало услышанное слово, что отражалось термином акусма (akousma). Если истинность услышанного слова гарантируется авторитетом говорящего, то истинность произнесенного слова должна быть обеспечена формально-логическим выводом. Однако в рассуждениях акусматиков присутствуют элементы формально-логического вывода, а вывод логиков всегда опирается на авторитет посылок. Произнесенное слово и услышанное находились в оппозиции к третьему термину — математика. Весь комплекс знаний, связанный со словом maqhmatikh, восходит к конструктивному познанию.

Греческое слово maqanw переводится как изучаю или понимаю, maqhsiz — изучение или познание, а слово математика (maqhmatikh) раньше означало науку вообще и глубокое познание всякого предмета. Здесь также уместно напомнить, что греческое слово гипотеза (upoqesiz) первоначально означало кинематическую модель и геометрическую схему. В этом значении данным термином пользовался Птолемей. Схоласты, недолюбливавшие конструктивные методы античных математиков, сообщили слову гипотеза коннотацию сомнения и предположения, отсутствовавшие в первоначальном значении слова. Рядом с исходным словом гипотеза можно было поставить и боговдохновенное слово теория или близкое ему слово теорема; они образованы от греческого глагола qewrein — созерцать. Таким образом, три основных математических термина — гипотеза, теорема и теория — апеллируют, прежде всего, к воображению, на что всегда опирался и будет опираться конструктивный поиск.

Математика — это нечто зримое, логика — нечто высказанное, а акусматика — нечто услышанное. Математики все знания получали преимущественно через представления; логики — через понятия, а акусматики — через заклинания. В этом троичном делении схвачено, пожалуй, основное и самое первое различие между рационально-конструктивным, формально-феноменологическим и религиозно-мистическим.

Логики и акусматики все свои знания выражали в словесно-символической форме, часто в очень претенциозной, поэтической и религиозной; математики же должны сами конструировать свои представления, т.е. заниматься более рациональным и прозаическим трудом. Понятийный спектр имеет две крайности в виде простого символа и философского принципа. Чистыми символами оперируют обыкновенно мистики. Так, пифагорейцы в качестве символов избрали для себя числа, сторонники каббалы — буквы, но перед первыми лежит всё же реальный мир, а перед вторыми — «священные тексты», поэтому пифагорейцы по степени идеализации мира приближаются к платоникам, а каббалисты занимают исключительно иррациональную позицию, смыкающуюся с позицией богословов.

Формализм-феноменализм Аристотеля, Фомы Аквинского или Гегеля местами апеллирует к идее Бога, однако сама логика совершенно безразлична к теологии, поэтому формально-логическая эпистемология часто является рационалистической. Пифагорейско-платоновская эпистемология, которой внутренне присуща мистика и признание потустороннего мира или каких-то трансцендентных вещей, при всей этой теологической направленности совместима с конструктивистскими элементами. Логики-перипатетики и акусматики-пифагорейцы отличаются от конструктивных математиков тем, что первые тяготеют к схоластической манере поучать, вторые — к мистической манере внимать; как те, так и другие — формалисты-феноменалисты, оперирующие логическими дефинициями, философскими принципами, политическими декларациями, юридическими нормами, церковными заповедями, священными заветами.

С помощью конструктивной математики познается объективный мир; с помощью формальной логики упорядочиваются мысли и феномены, данные нам в ощущениях; с помощью заклинаний вдалбливаются ложные понятия и представления, имеющие преимущественно иррациональный, эмоционально-чувственный статус, блокирующий волю индивидуума и определяющий его механическое неосознаваемое поведение. Последний тип эпистемологии носит откровенно религиозные и мистические формы, имеет мало общего с рациональной наукой, поэтому мы не рассматриваем его самостоятельно, но только как продолжение формально-феноменологической эпистемологии, как ее крайнюю форму.

Логика и математика в известном смысле противостоят друг другу. Предметом логики является мышление субъекта, которое разворачивается во времени, линейно и последовательно; предметом математики является независимая от мышления структура объекта, которая существует как некая пространственная данность вся целиком. В таком цельном виде математическая структура не может проникнуть в наше сознание и должна быть последовательно деструктурирована. Эта миссия лежит на логике; можно сказать, что через логику субъекта становится доступна математика объекта. Поэтому было бы правильно всю математику, как науку о количественных отношениях и пространственных формах, разграничить на два отдела, где по отдельности излагались бы конструктивная или поисковая математика и доказательная или образовательная математика; последняя и будет связана с логикой. Конструктивная математика обращена на объект, формальная — на субъект.

Ошибка конструктивиста-математика — это недопустимое расхождение между объектом и его моделью; ошибка формалиста-логика — это противоречие внутри формальной системы, которое никакого отношения к объективной реальности не имеет, так как он оперирует только символами действительного мира. Двигаясь итерационно шаг за шагом, конструктивный математик приближается к своему идеалу совсем не так как математик-формалист или логик. Опираясь на представления о реальности, он стремится воссоздать, сконструировать соответствующую этой реальности конкретную модель. Эта его частная модель всегда будет более восприимчива к модернизации, ее наглядные детали обладают высокой мобильностью и легко поддаются коррекции. Психика конструктивиста как нельзя лучше приспособлена для подобного рода занятий. Так, Архимед за свою долгую жизнь инженера и теоретика успел построить и проанализировать множество механических и геометрических моделей. Или взять Максвелла, который за свою короткую творческую жизнь поменял три совершенно различных модели электромагнитного взаимодействия.

Логические системы всегда оказываются консервативными и невосприимчивыми к совершенствованию. Осторожные, постоянно оглядывающиеся назад формалисты склонны строить гигантские системы, состоящие наполовину из примечаний и дополнений (полюбуйтесь на панлогические системы, созданные Аристотелем, Гегелем или Дж. Ст. Миллем). Непрерывно замазывая щели и законопачивая дыры, формалисты неустанно шлифуют и лакирую несущие опоры здания своего неизменного догмата, ни за что не соглашаясь на их демонтаж. Даже сам формальный аппарат логики за два с половиной тысячелетия своей истории претерпел крайне незначительные изменения, причем поверхностного характера. Между тем аппарат конструктивной математики в течение сравнительно короткого времени испытал быстрые и радикальные изменения.

Итак, математика тяготеет к конструктивной теории, а логика — к поверхностной феноменологии, эксперименту или эмпирическим данным. Любой формалист склонен к недооценке модельных построений и переоценке фактов; конструктивист же, напротив, чрезвычайно увлекается пространственной механикой и считает всякие опытные данные бесполезными, пока они не приобрели какую-нибудь, пусть самую предварительную теоретическую платформу. В результате расстановки этих приоритетов, у формалиста опыт всегда превалирует над теорией; у конструктивиста, наоборот, опыт, а значит, практика и прагматические цели уходят на второй план, главным для него становятся знания ради самих знаний, истина во имя самой истины.

Конструктивист уверен в ценности теории самой по себе, без всяких меркантильных, утилитарных и прагматических намерений. Он говорит себе: объективный мир устроен так-то и так-то, вот адекватная модель, отображающая реальные процессы. Формалист критикует конструктивиста за идеализм, оторванность от жизни и бесполезность его теоретических построений. Путем эмпирической и формальной подгонки, он снабжает потребителей интеллектуального продукта неким «описанием» природы или «инструкцией» к ее использованию. Дескриптивной эпистемологией устанавливаются необходимые каузальные связи между причиной и следствием или функциональные зависимости между воздействием и откликом. Формалисты уверены, будто логика (т.е. техника составления правильных цепей рассуждений, сюда же можно включить силлогистику Аристотеля, диалектику Гегеля, а также античную и средневековую диалектику как искусство ведения софистических и схоластических споров) помогает открывать новые истины, что, конечно же, не так. Формально-феноменологические уравнения, таблицы и графики имеют весьма косвенное отношение к физической действительности, хотя они и позволяют сделать быстрый расчет или предсказать наперед ту или иную опытную ситуацию.

Формалисты говорят: «Математика — это символьный язык, служащий для формального описания объекта познания». Конструктивист возразит ему: «Нет, математика это не столько язык познания, сколько сам объект познания». Граф или группа, конечно, могут отображать некие объекты, существующие в реальности, однако эти математические сущности могут обойтись и без физических представителей. Поэтому правильнее говорить о параллелизме между математическим и физическим мирами, когда вправе утверждать о представлении математических структур физическими моделями. Чтобы почувствовать разницу между формальным и конструктивным подходом, нужно отчетливо видеть разницу между математическим и логическим выражением.

Математика предоставляет некоторые количественные отношения, выраженные уравнением или тождеством, т.е. определенной формой эквивалентности. При переходе от левой части уравнения к правой не происходит приращения принципиально нового знания: та информация, которая содержится в его левой части, будет содержаться и в правой. Однако прежде чем вложить информацию в левую часть уравнения, ее нужно увидеть, т.е. она добывается органами зрения, а не речи или слуха. Настоящее доказательство связано только с непосредственным видением, но никак не с декларированием слов. Математика всегда есть больше чем совокупность специальных символов и терминов; она выходит далеко за рамки некоего условного языка. Важно, что математика с помощью символов способна представлять и моделировать действительность — в этом ее основное предназначение. Существование математического факта можно считать установленным, если получена соответствующая ему конструкция, часто в виде формул, таблиц и рисунков. Сложная, труднодоступная истина устанавливается на основе простой, открытой истины, некой визуальной данности. Прежде чем реальность будет представлена в виде математических формул и геометрических чертежей, она должна быть описана с помощью наглядной пространственно-механической модели; именно на основе конкретного образа производятся все необходимые вычисления. Модель тоже может быть неадекватна реальности, только природа математических ошибок существенно иная, чем логических.

Логический вывод подчиняется отношению порядка, который выражается словосочетаниями: «если А, то В», «А влечет В», «В, потому что А». Вместо букв А и В мы можем подставить C и D или любые другие буквы, т.е. логика изначально и принципиально имеет дело только с символами реальности, но не с самой объективной реальностью. Она упорядочивает мысли субъекта, но не внешние объекты, и правильность дедуктивного вывода еще не гарантирует истинности знаний о реальном мире, поскольку в буквенной идентификации реальных предметов может быть допущена ошибка.

Логика — это наука о доказательствах. Под доказательством понимают логически обоснованный формализм и, таким образом, теория доказательства становится разделом логики, изучающей различного рода суждения или умозаключения. При доказательстве той или иной истины мы всегда имеем в виду кого-то другого; для нас самих доказываемое всегда представляется чем-то очевидным.

Таким образом, логика есть убедительное средство передачи информации от человека к человеку, следовательно, логика есть особая языковая форма. В очень малой степени она апеллирует к зрительному образу и реальному предмету: только символы объектов и только действия над этими символами относятся к предмету логики; реальный мир оказывается вне поля зрения этой науки. Кого не возмущали исключительно формальные выводы логиков-юристов или логиков-ученых, которые эквилибристикой слов доказывали нечто такое, что абсолютно не соответствовало действительности.

Логика очень ревниво относится к формированию понятий, можно сказать, что она только этим и занята. Она может давать себе высокопарные определения: «наука о доказательствах» или «наука о правильных умозаключениях», но большая часть ее всегда приходилась на долгие и нудные суждения об именах, значениях, определениях и классификациях огромного количества слов, почерпнутых из жизни или различных отраслей знаний, вроде религии, морали и права. Логика со времен Зенона Элейского стремилась включить в качестве частностей арифметические и геометрические объекты, но последние этой близости настойчиво сопротивлялись. По апории Зенона «Ахилл и черепаха» противостояние между математикой и логикой особенно заметно. Еще большие претензии логика распространяла на естествознание. Завладев биологической классификацией и описанием животных и растительных форм, она возомнила, что это и есть настоящая наука. Но конструктивные представления не совместимы с составлением классификаций детерминированных сознанием форм; систематизация знаний — это самая первая форма естествознания, которая больше сковывает, чем способствует его развитию. Классификация предполагает описание по родам и видам, но посмотрите, например, на астрономию, какая здесь может быть подчиненность? Ее нет, по крайней мере, в той форме, в какой подчиненность существует в логике.

Логика не является строгой наукой в том смысле, что ее применение к анализу реальных ситуаций не может быть однозначным. Она призвана классифицировать и ранжировать наши высказывания о реальности, пытается сделать понятным наш язык для окружающих. Логика упорядочивает поток понятий, которые никогда не были — ни в древние времена, ни в нынешние — первичным продуктом мышления, т.е. тем передовым фронтом интеллектуальной деятельности, который осваивает неведомый мир. В понятиях добытые индивидуальным сознанием представления распространяются внутри общества и, как это обычно бывает при кодировании, трансляции и декодировании, исходная образная информация существенно искажается. Желательно спекулятивные рассуждения логического характера заменить строгими математическими вычислениями конструктивного характера. Тем самым ловятся сразу два зайца: новые знания получают обоснование и при этом, как правило, закладывается фундамент для возведения новых конструктивных моделей.

Материал из ПИЭ.Wiki

Перейти к: навигация, поиск

Арифметико-логическое устройство (АЛУ) — центральная часть процессора, выполняющая арифметические и логические операции.

АЛУ реализует важную часть процесса обработки данных. Она заключается в выполнении набора простых операций. Операции АЛУ подразделяются на три основные категории: арифметические, логические и операции над битами. Арифметической операцией называют процедуру обработки данных, аргументы и результат которой являются числами (сложение, вычитание, умножение, деление,…). Логической операцией именуют процедуру, осуществляющую построение сложного высказывания (операции И, ИЛИ, НЕ,…). Операции над битами обычно подразумевают сдвиги.

Структура АЛУ

АЛУ состоит из регистров, сумматора с соответствующими логическими схемами и элемента управления выполняемым процессом. Устройство работает в соответствии с сообщаемыми ему именами (кодами) операций, которые при пересылке данных нужно выполнить над переменными, помещаемыми в регистры.

Арифметико-логическое устройство функционально можно разделить на две части :

  1. микропрограммное устройство (устройство управления), задающее последовательность микрокоманд (команд);
  2. операционное устройство (АЛУ), в котором реализуется заданная последовательность микрокоманд (команд).

Рисунок 1 — Структурная схема арифметико-логического устройства

Структурная схема АЛУ и его связь с другими блоками машины показаны на рисунке 1. В состав АЛУ входят регистры Рг1 — Рг7, в которых обрабатывается информация , поступающая из оперативной или пассивной памяти N1, N2, …NS; логические схемы, реализующие обработку слов по микрокомандам, поступающим из устройства управления.

Закон переработки информации задает микропрограмма , которая записывается в виде последовательности микрокоманд A1,A2, …, Аn-1,An. При этом различают два вида микрокоманд: внешние, то есть такие микрокоманды, которые поступают в АЛУ от внешних источников и вызывают в нем те или иные преобразования информации (на рис. 1 микрокоманды A1,A2,…, Аn), и внутренние, которые генерируются в АЛУ и воздействуют на микропрограммное устройство, изменяя естественный порядок следования микрокоманд. Например, АЛУ может генерировать признаки в зависимости от результата вычислений: признак переполнения, признак отрицательного числа, признак равенства 0 всех разрядов числа др. На рис. 1 эти микрокоманды обозначены р1, p2,…, рm.

Результаты вычислений из АЛУ передаются по кодовым шинам записи у1, у2, …,уs, в ОЗУ. Функции регистров, входящих в АЛУ:

  • Рг1 — сумматор (или сумматоры) — основной регистр АЛУ, в котором образуется результат вычислений;
  • Рг2, РгЗ — регистры слагаемых, сомножителей, делимого или делителя (в зависимости от выполняемой операции);
  • Рг4 — адресный регистр (или адресные регистры), предназначен для запоминания (иногда и формирования) адреса операндов и результата;
  • Ргб — k индексных регистров, содержимое которых используется для формирования адресов;
  • Рг7 — i вспомогательных регистров, которые по желанию программиста могут быть аккумуляторами, индексными регистрами или использоваться для запоминания промежуточных результатов.

Часть операционных регистров является программно-доступной, то есть они могут быть адресованы в команде для выполнения операций с их содержимым. К ним относятся : сумматор, индексные регистры, некоторые вспомогательные регистры.

Остальные регистры программно-недоступные, так как они не могут быть адресованы в программе. Операционные устройства можно классифицировать по виду обрабатываемой информации, по способу обработки информации и логической структуре.

АЛУ может оперировать четырьмя типами информационных объектов: булевскими (1 бит), цифровыми (4 бита), байтными (8 бит) и адресными (16 бит). В АЛУ выполняется 51 различная операция пересылки или преобразования этих данных. Так как используется 11 режимов адресации (7 для данных и 4 для адресов), то путем комбинирования «операция/ режим адресации» базовое число команд 111 расширяется до 255 из 256 возможных при однобайтном коде операции.

Классификация АЛУ

  • По способу действия над операндами АЛУ делятся на последовательные и параллельные. В последовательных АЛУ операнды представляются в последовательном коде, а операции производятся последовательно во времени над их отдельными разрядами. В параллельных АЛУ операнды представляются параллельным кодом и операции совершаются параллельно во времени над всеми разрядами операндов.
  • По способу представления чисел различают АЛУ:
    1. для чисел с фиксированной точкой;
    2. для чисел с плавающей точкой;
    3. для десятичных чисел.
  • По характеру использования элементов и узлов АЛУ делятся на блочные и многофункциональные. В блочном АЛУ операции над числами с фиксированной и плавающей точкой, десятичными числами и алфавитно-цифровыми полями выполняются в отдельных блоках, при этом повышается скорость работы, так как блоки могут параллельно выполнять соответствующие операции, но значительно возрастают затраты оборудования. В многофункциональных АЛУ операции для всех форм представления чисел выполняются одними и теми же схемами, которые коммутируются нужным образом в зависимости от требуемого режима работы.
  • По своим функциям АЛУ является операционным блоком, выполняющим микрооперации, обеспечивающие приём из других устройств (например, памяти) операндов, их преобразование и выдачу результатов преобразования в другие устройства. Арифметическо-логическое устройство управляется управляющим блоком, генерирующим управляющие сигналы, инициирующие выполнение в АЛУ определённых микроопераций. Генерируемая управляющим блоком последовательность сигналов определяется кодом операции команды и оповещающими сигналами.

Операции в АЛУ

Выполняемые в АЛУ операции можно разделить на следующие группы:

  • операции двоичной арифметики для чисел с фиксированной точкой;
  • операции двоичной (или шестнадцатеричной) арифметики для чисел с плавающей точкой;
  • операции десятичной арифметики;
  • операции индексной арифметики (при модификации адресов команд);
  • операции специальной арифметики;
  • операции над логическими кодами (логические операции);
  • операции над алфавитно-цифровыми полями.

Современные ЭВМ общего назначения обычно реализуют операции всех приведённых выше групп, а малые и микроЭВМ, микропроцессоры и специализированные ЭВМ часто не имеют аппаратуры арифметики чисел с плавающей точкой, десятичной арифметики и операций над алфавитно-цифровыми полями. В этом случае эти операции выполняются специальными подпрограммами.

К арифметическим операциям относятся сложение, вычитание, вычитание модулей («короткие операции») и умножение и деление («длинные операции»). Группу логических операций составляют операции дизъюнкция (логическое ИЛИ) и конъюнкция (логическое И) над многоразрядными двоичными словами, сравнение кодов на равенство. Специальные арифметические операции включают в себя нормализацию, арифметический сдвиг (сдвигаются только цифровые разряды, знаковый разряд остаётся на месте), логический сдвиг (знаковый разряд сдвигается вместе с цифровыми разрядами). Обширна группа операций редактирования алфавитно-цифровой информации

Категория: Вычислительные системы, сети и телекоммуникации

Структурная схема арифметико-логического устройства

«Если все вороны черные, то все нечерные предметы — не вороны». Это высказывание несомненно истинно, и, чтобы утверждать это, не нужно быть знатоком птиц. Точно так же не нужно быть специалистом в теории чисел, чтобы сказать, что если все совершенные числа четны, то все нечетные числа несовершенны. Мы привели примеры утверждений, истинных независимо от смысла входящих в них понятий (вороны, черные, совершенные, четные) — истинных уже в силу самой своей формы. Изучение такого рода утверждений входит в задачу логики. Более общо: логика изучает правильные способы рассуждений — такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные посылки.

Предметом математической логики служат в основном рассуждения. При их изучении она пользуется математическими методами. Разъясним сказанное.

Математики строят и развивают математические теории, дают определения, доказывают теоремы и т. п. Специалисты по математической логике, наблюдая за этим, анализируют, как математики это делают и что при этом получается. Образно говоря, соотношение между математикой и математической логикой похоже на соотношение между концертом и теорией музыки. Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий.

Установив, что изучает математическая логика, перейдем к тому, как она это делает. Нам уже известно, что она пользуется математическими методами. Объясним, что это значит. Как применяются математические методы, например, в физике? Строится математическая модель рассматриваемого физического процесса, отражающая какие‑то его существенные свойства. Математические методы могут применяться не только в физике, но и в других науках. Например, применение математических методов в биологии состоит в построении математических моделей биологических процессов. Можно строить математические модели и для процесса развития математических теорий. Это и делает математическая логика.

Как устроена математическая теория? Она содержит какие‑то утверждения. Некоторые из них принимаются без доказательств, другие удается доказать (в этом случае утверждения называют теоремами). Значение слов «утверждение» и «доказательство» в повседневной практике весьма расплывчато. Поэтому если мы хотим строить математическую модель, то первым делом нужно уточнить эти понятия, т. е. построить их формальные аналоги в нашей модели. Для этого математические логики придумали специальные формальные языки, предназначенные для записи математических утверждений. Утверждения, записанные на формальных языках, называют формулами, чтобы отличить их от предложений естественных языков. Построив формальный язык, мы получаем возможность записывать некоторые математические утверждения в виде формул. Этого, разумеется, еще не достаточно. Нам нужно уметь записывать формально не только утверждения, но и доказательства. Для этого математические логики придумали формальный аналог понятия «доказательство» — понятие вывода (доказательства, записанного на формальном языке). Формальным аналогом понятия «теорема» является понятие «выводимая формула» (т. е. формула, имеющая вывод). Формальный язык вместе с правилами построения выводов называется формальной системой.

Какие требования естественно предъявлять к формальной системе? Мы хотим, чтобы она была как можно более похожа на «живую», неформальную математику. Для этого нужно, чтобы все интересующие нас содержательные утверждения (или, по крайней мере, большая их часть) могли быть «переведены на формальный язык», т. е. записаны в виде формул этой системы. Кроме того, нужно, чтобы неформальные доказательства можно было перевести в выводы соответствующих формул.

В настоящее время построены вполне удовлетворительные модели (формализации) большинства математических теорий. Наиболее важны формальная арифметика и аксиоматическая теория множеств. Формальная арифметика предназначается для формализации рассуждений о натуральных числах, а аксиоматическая теория множеств — о множествах.

Основным предметом математической логики, таким образом, является построение и изучение формальных систем. Центральным результатом здесь является доказанная в 1931 г. австрийским математиком К. Геделем теорема о неполноте, утверждающая, что для любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в ней предложения, т. е. такие формулы $A,$ что ни сама формула $A,$ ни её отрицание не имеют вывода.

Если отождествить формальную систему с соответствующей областью математики, то можно сказать, что в любой «достаточно разумной» области математики есть утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Мы не можем здесь точно сказать, что именно требуется от «достаточно разумной» формальной системы; отметим лишь, что большинство формальных систем (в том числе формальная арифметика и аксиоматическая теория множеств) удовлетворяют этим требованиям. На примере теоремы о неполноте мы видим, какую пользу приносит построение формальной системы: мы получаем возможность доказать, что какие‑то утверждения недоказуемы!

Изучение формальных систем привело к возникновению многих важных направлений в современной математической логике. Назовем некоторые из них. Теория моделей исследует вопрос о том, как можно придать «смысл» выражениям формальных языков и что при этом получается. Теория доказательств изучает свойства выводов в формальных системах. Важнейшим разделом логики, который сейчас уже можно рассматривать как самостоятельную дисциплину, является теория алгоритмов.

Многие знаки, придуманные логиками для построения формальных систем, постепенно вошли в общее употребление. К ним относятся логические связки $∧$ (конъюнкция, «и»), $∨$ (дизъюнкция, «или»), $⇒$ (импликация, «если… то…»), $¬$ (отрицание, «неверно, что») и так называемые кванторы $∀$ (всеобщности, «для всех») и $∃$ (существования, «существует»). Смысл логических связок, помимо указанных в скобках названий, разъясняется так называемыми таблицами истинности. Эти таблицы показывают, будет ли сложное утверждение, составленное с помощью логических связок из простых, истинно (И) или ложно (Л) в зависимости от истинности его составных частей. Приведем их.

$A$ $B$ $A∧B$ $A∨B$ $A⇒B$ $¬A$
И И И И И Л
И Л Л И Л Л
Л И Л И И И
Л Л Л Л И И

Например, пятый столбец показывает, что утверждение $A⇒B$ может быть ложно, только если $A$ истинно, а $B$ ложно. С помощью этих таблиц можно составить таблицу истинности и для более сложных утверждений, например для утверждения $((A∨B)∧(¬A))⇒B.$

$A$ $B$ $A∨B$ $¬A$ $(A∨B)∧(¬A)$ $((A∨B)∧(¬A))⇒B$
И И И Л Л И
И Л И Л Л И
Л И И И И И
Л Л Л И Л И

Составив её, мы увидим, что это утверждение (шестой столбец) всегда истинно, независимо от истинности утверждений А и В. Это не удивительно — ведь его можно прочитать так: «Если верно или $А,$ или $В$ и $А$ неверно, то верно $В$». Как говорят, это утверждение является логическим законом, или тавтологией. Именно с таких утверждений мы начали обсуждение предмета математической логики.

Смысл кванторов $∀$ и $∃$ можно объяснить так. Если $A(x)$ — некоторое утверждение, истинность которого зависит от значения переменной x (например, утверждение «$x$ — четное число»), то утверждение $∀xA(x)$ гласит, что $A(x)$ верно при всех значениях $x,$ а утверждение $∃xA(x)$ означает, что найдется такое $x,$ при котором $A(x)$ верно. (В нашем примере первое из этих утверждений ложно, а второе — истинно.) Как и логические связки, кванторы можно использовать для записи логических законов. Например, оба утверждения, приведенные нами в начале статьи в качестве примеров, частные случаи закона

Добавить комментарий

Закрыть меню