История открытия комплексных чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Краснодарский машиностроительный колледж КК»

История открытия корня

Работу выполнил

Шпилевой Иван

студент группы 589

Преподаватель

Кутлиметова Заира Ахмедовна

г. Краснодар 2016 г.

Этимология термина и происхождение символики

квадратный корень геометрический ньютон

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит (древний литературный язык Индии со сложной синтетической грамматикой. Само слово «санскрит» означает «обработанный, совершенный». Возраст ранних памятников доходит до 3,5 тыс. лет (середина II тыс. до н. э.).)греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант ((санскр. ?????????, siddhanta ) — санскритский термин, который можно перевести как «доктрина», «учение» или «традиция».В школах индийской философии сиддхантой называют философское заключение, установившуюся или принятую точку зрения. Сиддханта — это установившийся богословский термин в индуистской философии, где он используется для обозначения специфической линии богословского развития в определённой индуистской религиозной традиции. Исторически, в различных индуистских философских школах сиддханта устанавливалась основателями этих школ в форме сутр (афоризмов). Впоследствии, выдающиеся философы каждой традиции писали к сутрам комментарии, в которых продолжали формулировать установленную ранее доктрину путём цитирования шастр и использования логики и праманы. Например в традиции веданты, автором «Веданта-сутр» был Вьяса, а комментаторами — Шанкара, Рамануджа и Мадхва (каждый из которых выступил основателем одной из ведантических школ).

Также, в традиции мимансы, автором сутр был Джаймини, а комментатором — Шабарасвами.

Сиддхантами также называют базовые древнеиндийские трактаты по астрономии. Варахамихира в «Панча-сиддхантике» выделяет пять сиддхант: «Сурья-сиддханта», «Пайтамаха-сиддханта» (схожа с классической «Веданга-джьотишей»), «Паулиса-сиддханта», «Ромака-сиддханта» и «Васиштха-сиддханта») на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»).

Средневековые математики (например, Кардано (Джероламмо (Джироламо, Иероним) Кардамно (лат. Hieronymus Cardanus, итал. Girolamo Cardano, Gerolamo Cardano; 24 сентября 1501, Павия — 21 сентября 1576, Рим) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог. В его честь названы открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения (Кардано был их первым публикатором)) обозначали квадратный корень символом Rx, сокращение от слова «radix».

Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф (Кримстоф (Христоф) Румдольф (нем. Christoph Rudolff, 1499—1545) — немецкий математик, автор первого немецкого учебника алгебры, в котором предложил знак радикала, закрепившийся в науке. Принадлежал к школе «коссистов» (то есть алгебраистов), в 1525 году. (немецких алгебраистов XVI века).

Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл

Декарт (1637) (Ренем Декамрт (фр. Rene Descartes, лат. Renatus Cartesius Картезий; 31 марта 1596, Лаэ (провинция Турень), ныне Декарт (департамент Эндр и Луара) — 11 февраля 1650, Стокгольм) — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии.)для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Показатель степени появился в знаке корня благодаря Валлису (Джон Вамллис, точнее — Уомллис (англ. John Wallis; 23 ноября (3 декабря) 1616 — 28 октября (8 ноября) 1703) — английский математик, один из предшественников математического анализа.) и «Универсальной арифметике» («Универсальная арифметика» (или «Всеобщая арифметика», лат. Arithmetica Universalis) — монография Исаака Ньютона, впервые опубликованная в 1707 году на латинском языке. Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в развитие этого раздела математики. Позднее книгу под таким же названием опубликовал Эйлер в 1768—1769 годах.) Ньютона(XVIII век) (Исаамк Ньюмтон (или Ньютомн) (англ. Isaac Newton, 25 декабря 1642 года — 20 марта 1727 года по юлианскому календарю, действовавшему в Англии до 1752 года; или 4 января 1643 года — 31 марта 1727 года по григорианскому календарю) — английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.).

Размещено на Allbest.ur

  • 1. Комплексные числа

    История появления комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Модуль, сложение, умножение, квадратные уравнения комплексных чисел. Тригонометрическая форма, модуль и аргументы чисел. Возведение в степень и извлечение корня.
    контрольная работа, добавлен 22.01.2011

  • 2. Комплексные числа

    История возникновения комплексных чисел, их утверждение в математике. Геометрическое изображение комплексных чисел, их тригонометрическая форма. Действия с числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Решение уравнений с комплексными переменными.
    реферат, добавлен 29.08.2014

  • 3. Применение комплексных чисел в физике

    История комплексных чисел. Особенности решения многих задач физики и техники при помощи комплексных чисел. Достоинство комплексного метода. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного импеданса. Механические приложения комплексных чисел.
    статья, добавлен 03.09.2011

  • 4. Комплексные числа, их изображение на плоскости

    Алгебраические операции над комплексными числами и комплексное сопряжение. Показательная функция комплексного аргумента и применение формулы Эйлера. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Разложение многочлена с действительными коэффициентами.
    курс лекций, добавлен 23.10.2013

  • 5. Комплексные числа

    История развития комплексных чисел.

    Соглашение о комплексных числах. Сложение, деление и вычитание комплексных чисел, их геометрическое изображение. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел.
    доклад, добавлен 21.10.2011

  • 6. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах

    Геометрическая интерпретация комплексных чисел и действий над ними. Формулы длины отрезка и скалярного произведения векторов. Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность. Двойное отношение четырёх точек плоскости. Полюсы относительно окружности.
    учебное пособие, добавлен 28.12.2013

  • 7. Комплексные числа

    Польза мнимых чисел при решении кубических уравнений. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними. Основные правила возведения в n–ю степень и извлечения корня n–й степени для комплексных чисел. Развитие теории чисел.
    презентация, добавлен 05.10.2015

  • 8. Комплексные числа

    Понятие комплексного числа, его геометрическая интерпретация. Математические операции над комплексными числами: вычитание и деление, возведение в степень, извлечение корня, тригонометрическая форма, свойства модуля и аргумента. Уравнения высших степеней.
    курсовая работа, добавлен 26.09.2009

  • 9. Дифференциальные уравнения. Геометрическая интерпретация решения

    Понятие дифференциального уравнения. Определение функций производного порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение системы по методу Эйлера. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и условия Коши-Римана.
    лекция, добавлен 22.07.2015

  • 10. Комплексные числа и комплексные матрицы

    Понятие комплексного числа, его геометрическая интерпретация. Модуль комплексного числа, свойства модуля и аргумента. Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, возведение в степень и извлечение корня. Свойства эрмитовой матрицы.
    курсовая работа, добавлен 07.06.2014

  • Развитие понятия

    Пескомёт — формовочная машина, выполняющая две функции: наполняет опоку и уплотняет её. Основной рабочий орган пескомёта – метательная головка. Смесь в головке захватывается ротором и под действием центробежных сил выбрасывается из головки в опоку. Производительность современных пескомётов по уплотнённому объёму смеси достигает 50 м3/ч при диаметре ротора металлической головки 400-800 мм. Ротор имеет 1-3 лопаток. Главное преимущество – высокая равномерная плотность набивки формы любой высоты и площади. Пескомёты бывают подвесные и двухрукавные стационарные на рис.6 изображён двухрукавный пескомёт.

    1-большой рукав; 2-поворотная колонна; 3-тумба; 4,5-ленточные конвейеры; 6-металлическая головка; 7-малый рукав; 8-вертикальная ось поворота; 9-электродвигатель

    Рис.6

    Севастопольский коммерческий техникум

    Рефератное сообщение

    на тему: «История открытия понятия корня»

    Выполнила

    Студентка группы ТК 9-5

    Белошицкая Александра

    Г. Севастополь

    Корень -й степени из числа определяетсякак такое число , что Здесь — натуральное число, называемое показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай тривиален.

    Развитие понятия

    Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно).

    Среди таких задач:

    · Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.

    · Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.

    · Решение квадратных уравнений.

    Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа .

    Представив подкоренное выражение в виде:

    , получаем: ,

    затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона:

    Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для , например,

    и мы получаем последовательность приближений:

    В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

    Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах». Древние греки сделали важное открытие: — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально.

    Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Проблема оказалась неразрешимой. Численные алгоритмы извлечения кубического корня опубликовали Герон (в трактате «Метрика», I век н. э.) и индийский математик Ариабхата I (V век).

    Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал корень -й степени как возведение в степень .

    После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел.

    Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа(корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня.

    Литература

    Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.

    История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970—1972.

    Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.

    Мордкович А.

    Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, часть 1. — изд. 4-е. — М.: Мнемозина, 2003. — 376 с.

    Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.

    Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

    Посмотреть видео по теме Реферата

    Реферат

    на тему:

    «История открытия комплексных чисел».

    Выполнили ученики 10 а класса

    Савинской средней

    Школы №1

    Сметанин Илья и

    Лихачёв Вячеслав.

    План:

    1. Понятие о комплексном числе.

    а) Почему появились?

    б) Алгебраическая форма комплексного числа.

    2. Из истории.

    3. Заключение.

    4. Список используемой литературы.

    1. Понятие о комплексном числе.

    Почему появились?

    Процесс расширения понятий числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счёта предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания – к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятий числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

    Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой : каждому числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа). Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е. «на ней нет места для новых чисел». Возникло предположение о том, что геометрические образы новых чисел нужно искать не на прямой, а на плоскости.

    Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел a и b . Два комплексных числа (a;b) и (c;d) называются равными тогда и только тогда, когда a=c и b=d.

    Алгебраическая форма комплексного числа. Запись a+bi называется алгебраической формой комплексного числа z=(a; b); при этом число a называется действительной частью комплексного числа z, а bi – его мнимая часть. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно -1, т. е. .

    Если мнимая часть комплексного числа a+bi отлична от нуля, то такое число называется мнимым; если при этом a=0 , т. е. число имеет вид bi, то оно называется чисто мнимым; если у комплексного числа a+bi мнимая часть равна нулю, то получается действительное число a.

    2. Из истории.

    Итальянский алгебраист Дж. Кардано в . предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от

    латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

    В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

    Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): .

    В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

    Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

    «Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств» Л. Карно.

    3. Заключение

    Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

    Комплексные числа широко применяются не только в математике, но также в физике и технике. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами

    4. Список используемой литературы:

    1) «Математика» Гусев В.А., Мордкович А.Г. ( «Просвещение» .);

    2) «Справочник по элементарной математике» М.Я. Выгодский (Москва .);

    3) «Энциклопедический словарь юного математика»

    Аннотация. В данной статье рассмотрена история возникновения и развития комплексных чисел. Подчеркивается применение мнимого числа и функции от комплексного переменного во многих науках. В частности, комплексные числа имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

    Современная теория функций комплексного переменного охватывает очень большую область математики. Так называют обширную и разветвленную совокупность математических дисциплин – теоретических и прикладных.

    Сначала рассмотрим вопрос об истории теории функций комплексного переменного. Понятие мнимого, а затем и комплексного числа, известно в математике и используется с давних времен. Однако еще в течение очень долгого времени, несмотря на некоторые удачные мысли, относительно интерпретации мнимых и комплексных чисел, их природа не была разгадана и к ним относилась как к некоторому сверхъестественному явлению в математике.

    Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

    Наряду с натуральными числами применяли дроби — числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгоевремяполагали, чторезультатизмерениявсегдавыражаетсяиливвиденатуральногочисла, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом» . Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками во II веке до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя .

    В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

    Когда кубическое уравнение имеет один действительный корень оно решается без всяких проблем, но если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.

    В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше, чем 4, нельзя решить алгебраически.

    Долгое время отношение математиков к мнимым величинам было на грани мистики. Поражало то, что несмотря на то, что этих чисел нет, но тем не менее они формально являются настоящими решениями уравнений. Еще Лейбниц Г.В. писал, что мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа почти, что амфибия бытия с небытием. Подобные утверждения о мистических свойствах мнимых были и у других ученых.

    Понадобился гений Эйлера, чтобы признать мнимые числа настоящими числами и распространить вычисление с этими числами на все разделы математики. Именно Эйлеру и принадлежит гениальная догадка о том, что комплексные числа являются алгебраически замкнутыми относительно всех алгебраических операций. То есть не существует таких алгебраических операций над комплексными числами, которые невозможно было бы сделать не выходя за рамки комплексных чисел.

    Первое строгое доказательство этого факта сумел получить Гаусс в 1799 году. Из этого факта следуют две самые знаменитые теории математики. Это основная теорема алгебры о том, что любой многочлен степени n с комплексными корнями всегда имеет n корней, которые в общем случае также комплексные.

    И теорема в теории функций комплексного переменного, где говорится, что если мы знаем все значения такой аналитической функции на каком-то участке, то мы можем однозначно узнать все ее значения за пределами этого участка.

    Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы, считал что à × à = -à. Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью

    таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа — 1 (мнимой единицы).

    Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

    В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

    Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):

    (cosj + i × sinj )n = cos n ×j + i × sin n ×j . С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:

    ei×x = cos x + i × sin x , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической.

    С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число ё в любую комплексную степень. Интересно, например, что ei×p = -1. Можно находить синусы и косинусы от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного .

    В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

    Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

    Как утверждал Л. Карно “Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств”.

    В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число

    z = a + b × i точкой m (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

    Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости. Существует теорема Фробениуса, которая показывает, что поле комплексных чисел является единственной математической конструкцией, которая является алгебраически замкнутой, не имеет делителей нуля и сохраняет все свойства вещественных чисел (коммутативность и ассоциативность).

    Грубо говоря, комплексные числа это самые главные числа в математике.

    Поэтому многие математические положения на языке комплексных чисел формулируются очень кратко и изящно. Доказательство многих теорем становится очень компактным и простым. Вычисления в технике и в таких науках, как физика, механика, астрономия, значительно упрощаются.

    Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.

    Также комплексными числами пользовался отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является .

    Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

    И как говорил Ф. Клейн: “Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение”.

    Добавить комментарий

    Закрыть меню