Интеграл метод трапеций

Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?

Сначала формула в общем виде. Возможно, она будет не всем и не сразу понятна… да Карлссон с вами – практические примеры всё прояснят!

Спокойствие. Только спокойствие.

Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков:
. При этом, очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами.

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:
а) Специально для чайников я привязал первый пункт к чертежу, который наглядно демонстрировал принцип метода. Если будет трудно, посматривайте на чертёж по ходу комментариев, вот его кусок:
По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называется шагом.

Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше, чем количество отрезков:

Таким образом, общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой.

Окончательно:

Напоминаю, что полученное значение – это приближенное значение площади (см. рисунок выше).

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не падал в океан – увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

Как формируется вторая строка, думаю, всем видно – сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг .

По какому принципу заполняется нижняя строка, тоже, думаю, практически все поняли. Например, если , то . Что называется, считай, не ленись.

В результате:

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть!
Если для 3-х отрезков разбиения , то для 5-ти отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем, НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .

Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула уже знакома:

И шаг, естественно, тоже известен:

Но возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты ? В условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова: к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда. В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков. И когда количество отрезков растёт, то в голову приходит светлая мысль, что тыкать пальцами в микрокалькулятор уже как-то надоело. Поэтому еще раз предлагаю закачать и использовать мой калькулятор-полуавтомат (ссылка в начале урока).

Для формула трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:
При чистовом оформлении в тетрадь длинную таблицу выгодно превратить в двухэтажную.

В результате:

Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат:

Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность, а не какой результат больше, а какой – меньше.

Полученная оценка погрешности больше, чем требуемая точность:

Поэтому необходимо ещё раз удвоить количество отрезков разбиения до , и вычислить уже .

Ничего не придумываю, в реальных задачах достаточно часто требуется провести разбиение отрезка на 20 частей. С помощью экселевского калькулятора готовый результат можно получить в считанные секунды: .

Снова оцениваем погрешность:

Полученная оценка погрешности меньше, чем требуемая точность:

Всё что осталось сделать, округлить последний (наиболее точный) результат до двух знаков после запятой и записать:

Ответ: с точностью до 0,01

Пример 3

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до 0,001.

Перед вами опять неберущийся интеграл (почти интегральный косинус). В образце решения на первом шаге проведено разбиение на 4 отрезка, то есть . Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Интеграл, методы интегрирования

Суть метода трапеций.

Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл , где подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на отрезке .

Разобьем отрезок на n равных интервалов длины h точками . В этом случае шаг разбиения находим как и узлы определяем из равенства .

Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках .

Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n):

На каждом отрезке заменим функцию y=f(x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами и . Изобразим их на рисунке синими линиями:

В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение , то есть, примем .

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.

Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями и высотой h, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями и высотой h, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций, которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов вида на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене .

К началу страницы

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом трапеций.

Разберем на примерах применение метода трапеций при приближенном вычислении определенных интегралов.

В основном встречаются две разновидности заданий:

  • либо вычислить определенный интеграл методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n,
  • либо найти приближенное значение определенного интеграла с требуемой точностью.

Следует заметить, что при заданном n промежуточные вычисления следует проводить с достаточной степенью точности, причем, чем больше n, тем выше должна быть точность вычислений.

Если требуется вычислить определенный интеграл с заданной точностью, к примеру, до 0.01, то промежуточные вычисления рекомендуем проводить на два-три порядка точнее, то есть, до 0.0001 — 0.00001. Если указанная точность достигается при больших n, то промежуточные вычисления следует проводить с еще более высокой точностью.

Для примера возьмем определенный интеграл, значение которого мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы можно было сравнивать этот результат с приближенным значением, полученным по методу трапеций.

Итак, .

Вычислить определенный интеграл методом трапеций для n = 10.

Формула метода трапеций имеет вид . То есть, для ее применения нам достаточно вычислить шаг h по формуле , определить узлы и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции .

Вычислим шаг разбиения: .

Определяем узлы и вычисляем значения подынтегральной функции в них (будем брать четыре знака после запятой):

Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:

Подставляем их в формулу метода трапеций:

Полученное значение совпадает до сотых со значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница.

Вычислите определенный интеграл методом трапеций с точностью до 0.01.

Что мы имеем из условия: a = 1; b = 2; .

В этом случае первым делом находим количество точек разбиения отрезка интегрирования, то есть n. Мы это можем сделать, используя неравенство для оценки абсолютной погрешности . Таким образом, если мы найдем n, для которых будет выполняться неравенство , то формула трапеций при данных n даст нам приближенное значение определенного интеграла с требуемой точностью.

Найдем сначала наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке .

Вторая производная функции является квадратичной параболой , мы знаем из ее свойств, что она положительная и возрастающая на отрезке , поэтому . Как видите, в нашем примере процесс нахождения достаточно прост. В более сложных случаях обращайтесь к разделу наибольшее и наименьшее значение функции. Если же найти очень сложно, то после этого примера мы приведем альтернативный метод действий.

Вернемся к нашему неравенству и подставим в него полученное значение:

Так как n – число натуральное (n — количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 6, 7, 8, … Возьмем n = 6. Это позволит нам достичь требуемой точности метода трапеций при минимуме расчетов (хотя для нашего случая при n = 10 производить вычисления вручную удобнее).

Итак, n найдено, теперь действуем как в предыдущем примере.

Вычисляем шаг: .

Находим узлы сетки и значения подынтегральной функции в них:

Занесем в таблицу результаты расчетов:

Подставляем полученные результаты в формулу трапеций:

Вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить значения:

Следовательно, требуемая точность достигнута.

Следует отметить, что нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности является не очень простой процедурой, особенно для подынтегральных функций сложного вида. Поэтому логично прибегнуть к следующему методу.

Приближенное значение определенного интеграла, полученное по методу трапеций для n узлов, будем обозначать .

Выбираем произвольно число n, например n = 10. Вычисляем по формуле метода трапеций исходный интеграл для n = 10 и для удвоенного числа узлов, то есть, для n = 20. Находим абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений . Если она меньше требуемой точности , то прекращаем вычисления и в качестве приближенного значения определенного интеграла берем значение , предварительно округлив его до требуемого порядка точности. В противном случае удваиваем количество узлов (берем n = 40) и повторяем действия.

Этот способ подразумевает большой объем вычислительной работы, поэтому разумно использовать вычислительную технику.

Разберем этот алгоритм на примере. Промежуточные вычисления метода трапеций будем опускать.

К началу страницы

Немного о погрешностях.

Теоретически приближенное значение определенного интеграла, вычисленное по методу трапеций, стремиться к истинному значению при . Однако следует учитывать тот факт, что промежуточные вычисления в своем большинстве проводятся приближенно, и при больших n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Взглянем на оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников .

Можно ожидать вдвое меньшую погрешность для заданного n при использовании метода прямоугольников при одинаковом объеме вычислительной работы, то есть, использование этого метода как бы предпочтительнее. Это так и есть, когда известны значения функции в средних точках элементарных отрезков. Но иногда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах. В этом случае мы не сможем применить формулу средних прямоугольников, но сможем воспользоваться методом трапеций.

Методы правых и левых прямоугольников уступают методу трапеций в точности результата для заданного числа разбиений отрезка интегрирования.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Вычислите определенный интеграл методом трапеций с точностью до одной тысячной.

Метод трапеций

для оценки определенного интеграла. Величина определенного интеграла численно равна площади фигуры, образованной графиком функции и осью абсцисс (геометрический смысл определенного интеграла). Следовательно, найти– это значит оценить площадь фигуры, ограниченной перпендикулярами, восстановленными к графику подынтегральной функции f(x) из точек a и b, расположенных на оси аргумента x.

Для решения задачи разобьем интервал на n одинаковых участков. Длина каждого участка будет равна h=(b-a)/n (см. рис.).

Восстановим перпендикуляры из каждой точки до пересечения с графиком функции f(x). Если заменить полученные криволинейные фрагменты графика функции отрезками прямых, то тогда приближенно площадь фигуры, а следовательно и величина определенного интеграла оценивается как площадь всех полученных трапеций. Обозначим последовательно значения подынтегральных функций на концах отрезков f0, f1, f2,…, fn и подсчитаем площадь трапеций

В общем случае формула трапеций принимает вид

где fi – значение подынтегральной функции в точках разбиения интервала (a,b) на равные участки с шагом h; f0, fn – значения подынтегральной функции соответственно в точках a и b.

Остаточный член пропорционален длине интервала и квадрату шага h

Согласно рис. и формуле остаточного члена, точность вычисления определенного интеграла повышается с уменьшением шага h (увеличением числа отрезков n).

Метод трапеций можно реализовать в виде процедуры или даже функции, поскольку результат вычисления определенного интеграла – скалярная величина.

Параметрами программного модуля являются границы интервала (a и b) и число шагов разбиения на малые интервалы n. Для составления универсальной функции целесообразно предусмотреть вычисление подынтегральной функции f(x) во внешней процедуре – функции.

{Вычисление определенного интеграла по формуле трапеций}

Function Integral (a,b:real; {Пределы интегрирования}

n : integer; {Число шагов}

f : mpd_func): real; {Имя функции, вычисляющей

подынтегральное выражение}

x, h, sum : real; i : integer;

h := (b-a)/n;

sum := 0.0;

for i := 1 to n-1 do begin

x := a+i*h;

sum := sum + f(x);

integral := h*((f(a)+f(b))/2+sum);

end {Integral};

Если подынтегральная функция на интервале задана таблично в равноотстоящих узлах, то формула трапеций не изменяется: в формулу подставляются табличные значения f(x). При других вариантах табличного значения функции f(x) (неравноотстоящие узлы, точки a и b не совпадают с узлами таблицы), можно воспользоваться подходящим алгоритмом интерполирования табличной функции для приближенной оценки подынтегральной функции f(x) при произвольном значении аргумента x.

Пример

В настоящее время известно много формул приближенного интегрирования, называемых также квадратурными формулами (формулы вычисления площадей).

Формула прямоугольников. Вывод этой формулы основан на замене определенного интеграла интегральной суммой. Из анализа известно, что

где — интегральная сумма для функции f(x) на отрезке .

ξ – внутренняя точка отрезка .

Если отрезок разбить на n равных частей:

а=х0 , х1 , …, хп=b,

то

∆хi = = h.

Число h называется шагом квадратурной формулы.

При этом условии получаем:

Если взять в качестве точек ξi левые концы частичных отрезков:

f(ξi) = f(хi) (i = 0, 1, …, n-1),

то

Обозначим f(хi) = уi. Заменяя интеграл интегральной суммой, получим приближенное равенство:

, (2)

называемое формулой прямоугольников (с левыми ординатами).

Если взять в качестве точек ξi правые концы частичных отрезков:

f(ξi) =f(хi) (i = 1, 2,…, n),

то получим приближенное равенство:

, (3)

называемое формулой прямоугольников (с правыми ординатами).

Геометрический смысл формулы прямоугольников состоит в том, что криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников. Приближенное значение интеграла равно площади ступенчатой фигуры.

Пример. Вычислим интеграл , разбив интервал интегрирования на 10 равных частей (n = 10). Найдем и запишем в таблицу значения подынтегральной функции

у = в точках деления:

По формуле прямоугольников с левыми ординатами получим:

По формуле прямоугольников с правыми ординатами получим:

Значение, полученное по формуле (1):

Мы видим, что формулы прямоугольников дают грубые приближения.

Так как функция у = является убывающей на отрезке
, то формула прямоугольников с левыми ординатами позволяет получить приближенное значение интеграла с избытком, формула прямоугольников с правыми ординатами – с недостатком.

Абсолютную погрешность r формул прямоугольников (2) и (3) можно оценить по формуле:

(4)

где

Идея вывода квадратурных формул трапеций и Симпсона:

подынтегральной функции f(x) поставить в соответствие близкую ей функцию gn(x), которую можно проинтегрировать, и приближенно заменить искомый интеграл Iинтегралом от этой функции.

Формула трапеций.Пусть требуется вычислить интеграл


Обозначим a = x0 , b = x1.

В качестве аппроксимирующей функции g(x) выберем линейную функцию и произведем замену подынтегральной функции f(x) по формуле линейного интерполирования

f(x) ≈ у0 + tDу0 ,

где

у0 =f(x0) , у1 =f(x1), Dу0 = у1- у0.

В этом случае

, (5)

Известно, что t =

Отсюда х=х0 +th и dx =hdt.

При х = х0 t = 0;

при х =х1 t = 1.

Переходя к новой переменной t, получим:

или

(6)

так как Dу0 =у1 –у0

Формула (6) называется формулой трапеций.

Ее геометрический смысл состоит в том, что на отрезке
кривая у = f(х) заменяется отрезком прямой (хордой), т. е. криволинейная трапеция заменяется прямолинейной.

Значение интеграла, вычисленное по формуле (6), будет равно площади трапеции. На рисунке эта площадь заштрихована.

Как показывает вычислительная практика, при недостаточно малой длине отрезка интегрирования точность результатов, полученных с помощью формулы (6), бывает недостаточной.

Для получения более точного результата поступают следующим образом:

Отрезок интегрирования разбивают на п равных частей точками: х0 = а, х1 , х2 ,…,хn =b. И аппроксимируют кусочно-линейной функцией gп(x). Применяя формулу (6) на каждом из частичных отрезков интегрирования, получают:

(7)

Сложив равенства, получают формулу, называемую обобщенной формулой трапеций:

(8)

где уi =f(хi ) (i = 0, 1, …, n).

Геометрический смысл этой формулы состоит в том, что кривая — график функции у = f(х) — заменяется ломаной, вписанной в кривую АВ. Площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций. Как показывает практика, формула (8) при большом числе точек деления позволяет получать хорошие результаты.

Пример 1. Вычислим по формуле трапеций (8) интеграл , разбив отрезок интегрирования на десять равных частей.

Воспользовавшись данными, занесенными в предыдущую таблицу, получим:

Сравнение полученного результата со значением ln2 » 0,693147 показывает, что погрешность значения интеграла, вычисленного по обобщенной формуле трапеций, значительно меньше погрешности, допущенной при вычислении этого же интеграла по формуле прямоугольников.


Можно показать, что погрешность результатов, получаемых по обобщенной формуле трапеций, подсчитывается по формуле

Добавить комментарий

Закрыть меню