Граф в информатике

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ

ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Курсовая работа

по дисциплине «Информатика»

на тему: «Применение теории графов в информатике»

УФА 2010

Введение

  1. Теоретическая часть

1.1 История возникновения теории графов

1.2 Основные понятия теории графов

1.3 Основные теоремы теории графов

1.4 Способы предоставления графов в компьютере

1.4.1 Требования к предоставлению графов

1.4.2 Матрица смежности

1.4.3 Матрица инциденций

1.4.4 Списки смежности

1.4.5 Массив дуг

1.5 Обзор задач теории графов

1.6 Программа определения кратчайшего пути в графах

1.6.1 Язык программирования Delphi

1.6.2 Программа «Определения кратчайшего пути в графе»

  1. Практическая часть

2.1 Общая характеристика задачи

2.2 Описание алгоритма решения задачи

Заключение

Введение

Начало теории графов как математической дисциплины было положено Эйлером в его знаменитом рассуждении о Кенигсбергских мостах. Однако эта статья Эйлера 1736 года была единственной в течение почти ста лет. Интерес к проблемам теории графов возродился около середины прошлого столетия и был сосредоточен главным образом в Англии. Имелось много причин для такого оживления изучения графов. Естественные науки оказали свое влияние на это благодаря исследованиям электрических цепей, моделей кристаллов и структур молекул. Развитие формальной логики привело к изучению бинарных отношений в форме графов. Большое число популярных головоломок подавалось формулировкам непосредственно в терминах графов, и это приводило к пониманию, что многие задачи такого рода содержат некоторое математическое ядро, важность которого выходит за рамки конкретного вопроса. Наиболее знаменитая среди этих задач–проблема четырех красок, впервые поставленная перед математиками Де Морганом около 1850 года. Никакая проблема не вызывала столь многочисленных и остроумных работ в области теории графов.

Настоящее столетие было свидетелем неуклонного развития теории графов, которая за последние десять – двадцать лет вступила в новый период интенсивных разработок. В этом процессе явно заметно влияние запросов новых областей: теории игр и программирования, теории передачи сообщений, электрических сетей и контактных цепей, а также проблем психологии и биологии.

Вследствие этого развития предмет теории графов является уже обширным, что все его основные направления невозможно изложить в одном томе. В настоящем первом томе предлагаемого двухтомного труда сделан акцепт на основные понятия и на результаты, вызывающие особый систематический интерес.

1. Теоретическая часть

1.1 История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783) . Однако теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач.

  1. Задача о Кенигсбергских мостах. На рис.

    1 представлен схематический план центральной части города Кенигсберг (ныне Калининград), включающий два берега реки Перголя, два острова в ней и семь соединяющих мостов. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку. Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Эйлером в 1736 году.

Рис. 1. Схематическое изображение Кенигсбергских мостов

  1. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 2). Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Куратовским в 1930 году .

Рис. 2 Схематичное изображение трех домов и трех колодцев

  1. Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 3). С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно.

Рис. 3. Схематичное изображение задачи о четырех красках

1.2 Основные понятия теории графов

  1. Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств – непустого множества V(множества вершин) и множества E двухэлементных подмножеств множества V(E – множество ребер).

  2. Ориентированным называется граф, в котором — множество упорядоченных пар вершин вида (x,y), где x называется началом, а y – концом дуги. Дугу (x, y) часто записывают как . Говорят также, что дуга ведет от вершины x к вершине y, а вершина y смежная с вершиной x.

  3. Если элементом множества E может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества E называется петлей, а граф называется графом с петлями (или псевдографом).

  4. Если E является не множеством, а набором, содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами, а граф называется мультиграфом.

  5. Если элементами множества E являются не обязательно двухэлементные, а любые подмножества множества V, то такие элементы множества E называются гипердугами, а граф называется гиперграфом.

  6. Если задана функция F : V → M и/или F : E → M, то множество M называется множеством пометок, а граф называется помеченным (или нагруженным). В качестве множества пометок обычно используются буквы или целые числа. Если функция F инъективна, то есть разные вершины (ребра)имеют разные пометки, то граф называют нумерованным.

  7. Подграфом называется граф G′(V′,E′), где и/или .

    1. Если V′ = V, то G′ называется остовным подграфом G.

    2. Если , то граф G′ называется собственным подграфом графа G.

    3. Подграф G′(V′,E′) называется правильным подграфом графа G(V,E), если G′ содержит все возможные рёбра G.

  8. Степень (валентность) вершины – это количество ребер, инцидентных этой вершине (количество смежных с ней вершин).

  9. Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер , в которой любые два соседних элемента инциденты.

    1. Если , то маршрут замкнут, иначе открыт.

    2. Если все ребра различны, то маршрут называется цепью.

    3. Если все вершины (а значит, и ребра) различны, то маршрут называется простой цепью.

    4. Замкнутая цепь называется циклом.

    5. Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

    6. Граф без циклов называется ациклическим.

    7. Для орграфов цепь называется путем, а цикл – контуром.

Рис. 4. Маршруты, цепи, циклы

Пример

В графе, диаграмма которого приведена на рис.4:

  1. v1, v3, v1, v4 – маршрут, но не цепь;

  2. v1, v3, v5, v2, v3, v4 – цепь, но не простая цепь;

  3. v1, v4, v3, v2, v5 – простая цепь;

  4. v1, v3, v5, v2, v3, v4, v1 – цикл, но не простой цикл;

  5. v1, v3, v4, v1 – простой цикл.

  1. Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом.

  2. Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа (по одному разу), то такой цикл называется гамильтоновым циклом.

  3. Деревом называется связный граф без циклов.

  4. Остовом называется дерево, содержащее все вершины графа.

  5. Паросочетанием называется множество ребер, в котором никакие два не смежны.

  6. Паросочетание называется максимальным, если никакое его надмножество не является независимым.

  7. Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их простая цепь.

  8. Граф, в котором все вершины связаны, называется связным.

  9. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется вполне несвязным.

  10. Длиной маршрута называется количество ребер в нем (с повторениями).

  11. Расстоянием между вершинами u и v называется длина кратчайшей цепи , а сама кратчайшая цепь называется геодезической.

  12. Диаметром графа G называется длина длиннейшей геодезической.

  13. Эксцентриситетом вершины v в связном графе G(V,E) называется максимальное расстояние от вершины v до других вершин графа G.

  14. Радиусом графа G называется наименьший из эксцентриситетов вершин.

  15. Вершина v называется центральной, если ее эксцентриситет совпадает с радиусом графа.

  16. Множество центральных вершин называется центром графа.

Рис. 5 Эксцентриситеты вершин и центры графов (выделены)

Регулярный граф

Регулярным графом называется связный граф, все вершины которого имеют одинаковую степень k. Таким образом, на рисунке к примеру 2 изображены примеры регулярных графов, называемых по степени его вершин 4-регулярными и 2-регулярными графами или регулярными графами 4-й степени и 2-й степени.

Число вершин регулярного графа k-й степени не может быть меньше k+1. У регулярного графа нечётной степени может быть лишь чётное число вершин.

Пример 3. Построить регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 4.

Решение. Рассуждаем так: для того, чтобы длина цикла удовлетворяла заданному условию, требуется, чтобы число вершин графа было кратно четырём. Если число вершин равно четырём, то получится граф, изображённый на рисунке ниже. Он является регулярным, но в нём самый короткий цикл имеет длину 3.

Увеличиваем число вершин до восьми (следующее число, кратное четырём). Соединяем вершины рёбрами так, чтобы степени вершин были равны трём. Получаем следующий граф, удовлетворяющий условиям задачи.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Добавить комментарий

Закрыть меню