Дискретизация сигнала

Для решения своих задач человеку часто приходится преобразовывать имеющуюся информацию из одной формы представления в другую.

Например, при чтении вслух происходит преобразование информации из дискретной (текстовой) формы в непрерывную (звук). Во время диктанта на уроке русского языка, наоборот, происходит преобразование информации из непрерывной формы (голос учителя) в дискретную (записи учеников).

Информация, представленная в дискретной форме, значительно проще для передачи, хранения или автоматической обработки. Поэтому в компьютерной технике большое внимание уделяется методам преобразования информации из непрерывной формы в дискретную.

Дискретизация информации — процесс преобразования информации из непрерывной формы представления в дискретную.

Рассмотрим суть процесса дискретизации информации на примере.

На метеорологических станциях имеются самопишущие приборы для непрерывной записи атмосферного давления. Результатом их работы являются кривые, показывающие, как изменялось давление в течение длительных промежутков времени (барограммы). Одна из таких кривых, вычерченная прибором в течение семи часов проведения наблюдений, показана ниже.

На основании полученной информации можно построить таблицу, в которую будут занесены показания прибора в начале измерений и на конец каждого часа наблюдений.

Полученная таблица даёт не совсем полную картину того, как изменялось давление за время наблюдений: например, не указано самое большое значение давления, имевшее место в течение четвёртого часа наблюдений. Но если занести в таблицу значения давления, наблюдаемые каждые полчаса или 15 минут, то новая таблица будет давать более полное представление о том, как изменялось давление.

Таким образом, информацию, представленную в непрерывной форме (барограмму, кривую), мы с некоторой потерей точности преобразовали в дискретную форму (таблицу).

В дальнейшем вы познакомитесь со способами дискретного представления звуковой и графической информации.

Самое главное:

  • Дискретизация информации — процесс преобразования информации из непрерывной формы представления в дискретную.

Вопросы и задания:

  1. С какой целью человек осуществляет преобразование информации из одной формы представления в другую?

    Приведите примеры таких преобразований.

  2. В чём суть процесса дискретизации информации?

КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛА, преобразование сигнала в последовательность импульсов (квантование сигнала по времени) или в сигнал со ступенчатым изменением амплитуды (квантование сигнала по уровню), а также преобразование одновременно и по времени, и по уровню. Квантование сигнала реализуется посредством разбиения диапазона значений аналогового сигнала на конечное число равных непересекающихся интервалов. При квантовании сигнала по времени происходит замена непрерывного по времени сигнала Х(t) дискретным сигналом, значения которого для дискретных моментов времени t совпадают соответственно с мгновенными значениями непрерывного сигнала. Квантование сигнала по уровню заключается в замене непрерывного множества значений сигнала Х(t) множеством дискретных значений. Шкала возможных значений сигнала разбивается на определённое количество равных интервалов, и непрерывное значение сигнала заменяется ближайшим дискретным (при этом используется теорема Котельникова, согласно которой для дискретизации аналогового сигнала без потери информации частота отсчётов должна быть в два раза выше верхней граничной частоты спектра сигнала). Полученные дискретные значения затем кодируются (обычно двоичным кодом). При квантование сигнала происходит округление мгновенных значений аналогового сигнала до некоторой наперёд заданной фиксированной величины (уровня).

Полученные в результате этих преобразований дискретные (импульсные) сигналы в совокупности отображают исходный сигнал с заранее установленной ошибкой, связанной с шагом дискретизации. Искажения сигнала, происходящие в процессе квантования сигнала, называются шумом квантования. Принципиально важно, что это искажение не может быть в дальнейшем устранено, так как шум квантования коррелирован с сигналом. В общем случае это искажение уменьшается при увеличении количества уровней квантования.

Реклама

Квантование сигнала широко применяют при передаче данных в телемеханике и вычислительной технике для преобразования аналоговых сигналов в цифровую форму, в связи — при передаче сигнальной информации, в цифровых измерительных приборах и др.

Ю. С. Сорокин.

Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 7 классы | Планирование уроков на учебный год (ФГОС) | Дискретная форма представления информации

Урок 7
Дискретная форма представления информации

1.5.1. Преобразование информации из непрерывной формы в дискретную

1.5.2. Двоичное кодирование

1.5.3. Универсальность двоичного кодирования. 1.5.4. Равномерные и неравномерные коды

Вопросы и задания

Электронное приложение к учебнику

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Практическая часть урока

1.5.1.

Преобразование информации из непрерывной формы в дискретную

Ключевые слова:

• дискретизация • алфавит • мощность алфавита • двоичный алфавит • двоичное кодирование • разрядность двоичного кода

Для решения своих задач человеку часто приходится преобразовывать имеющуюся информацию из одной формы представления в другую. Например, при чтении вслух происходит преобразование информации из дискретной (текстовой) формы в непрерывную (звук). Во время диктанта на уроке русского языка, наоборот, происходит преобразование информации из непрерывной формы (голос учителя) в дискретную (записи учеников).

Информация, представленная в дискретной форме, значительно проще для передачи, хранения или автоматической обработки. Поэтому в компьютерной технике большое внимание уделяется методам преобразования информации из непрерывной формы в дискретную.

Дискретизация информации — процесс преобразования информации из непрерывной формы представления в дискретную.

Рассмотрим суть процесса дискретизации информации на примере.

На метеорологических станциях имеются самопишущие приборы для непрерывной записи атмосферного давления. Результатом их работы являются барограммы — кривые, показывающие, как изменялось давление в течение длительных промежутков времени. Одна из таких кривых, вычерченная прибором в течение семи часов проведения наблюдений, показана на рис. 1.9.

На основании полученной информации можно построить таблицу, содержащую показания прибора в начале измерений и на конец каждого часа наблюдений (рис. 1.10).

Полученная таблица даёт не совсем полную картину того, как изменялось давление за время наблюдений: например, не указано самое большое значение давления, имевшее место в течение четвёртого часа наблюдений. Но если занести в таблицу значения давления, наблюдаемые каждые полчаса или 15 минут, то новая таблица будет давать более полное представление о том, как изменялось давление.

Таким образом, информацию, представленную в непрерывной форме (барограмму, кривую), мы с некоторой потерей точности преобразовали в дискретную форму (таблицу).

В дальнейшем вы познакомитесь со способами дискретного представления звуковой и графической информации.

Поль Адриен Морис Дирак
1902–1884

Оливер Хевисайд
1850–1825

Соболев Сергей Львович
1908–1989

Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830

Бернхард Риман
1826–1866

Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

Вводные понятия

Рисунок 1. Аналоговый, дискретный и цифровой сигналы

Сигналназывают аналоговым, если он определен на непрерывной оси времени , и в каждый момент может принимать произвольные значения. Аналоговый сигнал может быть представлен непрерывной, или кусочно-непрерывной функции переменной . Пример аналогового сигнала показан на рисунке 1.
Если сигнал принимает произвольные значения только в фиксированные моменты времени , — целое число, то такой сигнал называется дискретным. Наиболее широкое распространение получили дискретные сигналы, определенные на равноотстоящей сетке , где — интервал дискретизации. При этом в моменты дискретизации дискретный сигнал может принимать произвольные значения. Если значения дискретного сигнала также берутся на фиксированной сетке значений, и при этом сами значения могут быть представлены числом конечной разрядности в одной из систем счисления, то такой дискретный сигнал называется цифровым . Часто говорят, что цифровой сигнал представляет собой квантованный по уровню дискретный сигнал. Примеры дискретного и цифрового сигналов также показаны на рисунке 1. Тонкая разница между дискретными и цифровыми сигналами дает возможность их отождествлять практически во всех прикладных задачах. Аналоговый сигнал может быть описан функцией времени, в то время как дискретный и цифровой сигналы могут быть заданы вектором отсчетов :

(1)

Вектор отсчетов цифрового сигнала может быть помещен в память вычислительного устройства с возможность многократной перезаписи и копирования без потери точности, в то время как перезапись и копирование аналоговых сигналов неизбежно сопровождается потерей части информации. Кроме того, обработка цифровых сигналов позволяет добиться потенциально-возможных характеристик устройств, ввиду возможности выполнения вычислительных операций без потерь, или с пренебрежимо малыми потерями качества.
Указанный преимущества определили повсеместное распространение цифровых систем хранения и обработки сигналов. Но цифровые сигналы также имеют и недостатки по сравнению с аналоговыми.
Во-первых нет возможности передавать цифровые сигналы «как есть», поскольку передача сигналов чаще всего происходит при использовании электромагнитных и акустических волн, которые являются непрерывными во времени. Поэтому для передачи цифровых сигналов требуются дополнительные методы цифровой модуляции, а также цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП).
Другим недостатком цифровых сигналов является меньший динамический диапазон сигнала (т.е. отношение самого большого значения к самому маленькому), из-за квантования сигнала на фиксированной сетке значений.

Дискретизация аналоговых сигналов. Математическая модель дискретного сигнала

В данном параграфе мы рассмотрим способ выборки дискретных значений аналогового сигнала. Структурная схема устройства дискретизации показана на рисунке 2. Данное устройство называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП), потому что оно преобразует аналоговый сигнал в набор оценок дискретных значений , где — целое число, взятых через равноотстоящие промежутки времени .

Рисунок 2. Структурная схема аналого-цифрового преобразователя

Временны́е осциллограммы, поясняющие принцип работы устройства показаны на рисунке 3 (см. , или ).

Рисунок 3. Временны́е осциллограммы АЦП

На входе АЦП имеется аналоговый сигнал . Генератор импульсов формирует равноотстоящие стробирующие импульсы , которые управляют ключом, в результате чего на вход усилителя подаются котроткие выборки сигнала длительности длительности , взятые через интервал дискретизации .
Оценка дискретного сигнала может быть представлена в виде

(2)

где — прямоугольный импульс длительности единичной амплитуды, который мы уже рассматривали в предыдущих разделах.
Интегрируя на каждом интервале длительности стробирующего импульса получим оценку значения сигнала в момент времени . При конечной величине мы можем говорить об оценке значения сигнала в момент времени с некоторой погрешностью, ввиду изменения сигнала на интервале . Поэтому мы используем шапочку над обозначением , чтобы подчеркнуть приближенную оценку.
При уменьшении длительности погрешность оценки будет уменьшаться, и в пределе мы можем получить дискретный сигнал как:

(3)

где — смещенная на дельта-функция Дирака, которую мы подробно рассматривали в параграфе ранее.
Бесконечная сумма смещенных дельта-функций называется решетчатой функцией и обозначается :

(4)

где индекс указывает временной интервал следования дельта-функций.
Тогда математической моделью дискретного сигнала будет произведение исходного аналогового сигнала на решетчатую функцию:

(5)

Заметим, что (5) уже не является приближенной оценкой, а представляет собой истинную модель дискретного сигнала.
Графически модель дискретного сигнала , с использованием решетчатой функции показана на рисунке 4.

Рисунок 4. Модель дискретного сигнала
на основе решетчатой функции

Для получения численных значений дискретного сигнала необходимо проинтегрировать дискретный сигнал (5) в окрестности :

(6)

где — конечный интервал интегрирования дискретного сигнала в окрестности .
В дальнейшем мы будем широко использовать данную модель дискретного сигнала для перехода от методов анализа и обработки аналоговых сигналов, к цифровым.

Преобразование Фурье решетчатой функции

В данном разделе мы проанализируем спектральную плотность решетчатой функции . Для начала рассмотрим как периодический сигнал. Тогда можно представить в виде разложения в ряд Фурье:

(7)

где , рад/с — частота дискретизации,

(8)

Тогда (7) с учетом (8):

(9)

Заметим, что знак аргумента комплексной экспоненты выражения (9) можно изменить, потому что суммирование ведется от минус бесконечности до бесконечности с положительными и отрицательными . Тогда:

(10)

Выражение (10) представляет как бесконечную сумму комплексных экспонент.
Рассмотрим теперь преобразование Фурье решетчатой функции:

(11)

Поменяем операции интегрирования и суммирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:

(12)

Выражение (12) также представляет собой бесконечную сумму комплексных экспонент. Учтем, что и получим:

(13)

Сравнивая (13) с (10) можно заключить, что:

(14)

Таким образом, спектральная плотность решетчатой функции представляет собой также решетчатую функцию.
Период повторения дельта-функций в частотной области равен , при этом дельта-функции масштабируются в раз, как это показно на рисунке 5.

Рисунок 5. Решетчатая функция:
а — временно́е представление; б — спектральная плотность

Заметим, что умножение на в частотной области изменяет размерность спектральной плотности , в результате чего спектральная плотность переходит в безразмерный спектр (что не удивительно, потому что исходная решетчатая функция — периодическая).

Спектральная плотность дискретного сигнала

Пусть дан аналоговый сигнал , спектральная плотность которого равна . В данном параграфе мы рассмотрим процесс равноотстоящей дискретизации сигнала в частотной области.
Преобразование Фурье дискретного сигнала (5) равно:

(15)

Применим свойство преобразования Фурье произведения сигналов, тогда представляет собой свертку спектральной плотности решетчатой функции и спектральной плотности исходного сигнала :

(16)

Преобразуем (16), используя фильтрующее свойство дельта-функции:

(17)

Уравнение (17) задает спектральную плотность дискретного сигнала как бесконечную сумму масштабированных копий спектральной плотности , отстоящих друг от друга на рад/с по частоте, как это показано на рисунке 6.

Рисунок 6. Спектральная плотность дискретного сигнала

Заметим, что мы не накладываем никаких ограничений ни на интервал дискретизации , ни на сигнал , ни на спектральную плотность . Вне зависимости от частоты дискретизации рад/с, и формы , спектральная плотность дискретного сигнала всегда будет представлять собой сумму масштабированных копий , отстоящих друг от друга на величину частоты дискретизации рад/с.

Выводы

В данном разделе мы ввели понятие дискретного и цифрового сигналов. Мы опеределили, что дискретный сигнал может быть представлен как результат произведения решетчатой функции и аналогового сигнала.
Были детально рассмотрены свойства решетчатой функции и показано, что спектральная плотность решетчатой функции также представляет собой масштабированную по амплитуде решетчатую функцию.
В результате свойств решетчатой функци получили, что спектральная плотность дискретного сигнала представляется бесконечной суммой копий спектральных плотностей исходного сигнала, отставленных дург от друка на величину равную частоте дискретизации.
Смотри также
Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Информация была полезна? Поделитесь с друзьями!

Список литературы

Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

Дискретизация сигналов по времени и квантование по уровню в системах цифрового управления

Дискретизация по времени является обязательным процессом в цифровых системах управления, что обусловлено дискретной природой самих ЭВМ. Регулируемый параметр объекта управления с помощью датчиков представляется обычно аналоговым сигналом, который с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) переводится в цифровую форму. Таким образом, непрерывно изменявшееся во времени состояние объекта управления преобразуется в последовательность чисел, которые обрабатываются ЭВМ. Под обработкой обычно понимается реализация закона регулирования. На выходе ЭВМ получается новая последовательность чисел, которая после преобразования в непрерывный сигнал подается на вход объекта управления. Преобразование в непрерывный сигнал производится с помощью цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП). Процесс преобразования последовательности чисел в непрерывный сигнал называется восстановлением сигнала. Принцип работы ЭВМ в контуре управления заключается в том, что результаты обработки выдаются на выход в дискретные моменты времени t=0, T, 2T,…,

причем Т = t1+t2+t3+t4,

где t1 – время опроса датчиков; t2 – время выполнения программы; t3 – время выдачи воздействия на объект управления; t4 – резервное время.

В интервалах между решениями на выходе ЭВМ сохраняется то значение сигнала, которое было получено в начале интервала. В некоторых случаях производится также экстраполяция значений сигналов по линейному или квадратичному закону.

Для организации работы ЭВМ в реальном масштабе времени необходимо, чтобы Т не превышало ТЗ, где ТЗ – заданное время выдачи управляющих воздействий. Заданное время ТЗ определяется динамическими свойствами объекта управления. Для определения ТЗ используют аналитические методы теории автоматического регулирования, а также экспериментальные.

Дискретизация сигнала по времени означает простую замену этого сигнала его значениями на множестве дискретных точек. Дискретизация – это линейная операция. Моменты дискретизации в общем случае имеют постоянный период, и дискретизация называется периодической. Существуют и более сложные способы дискретизации. Такая дискретизация называется многочастотной и рассматривается как суперпозиция нескольких систем периодической дискретизации.

Кроме дискретизации по времени для получения цифровой формы производится квантование по уровню. Дискретизация сигналов по времени делает систему дискретной, а квантование по уровню – нелинейной. Необходимо помнить, что процессы дискретизации, квантования и восстановления сопровождаются возникновением методических погрешностей.

Рациональный выбор частоты дискретизации должен основываться на понимании ее влияния на качество систем управления. Вполне естественным является выбор максимальной частоты дискретизации исходя из полосы пропускания замкнутой системы. В этом случае выбор частоты дискретизации производится исходя из ширины полосы пропускания или, что то же самое, из времени разгона (времени регулирования) замкнутой системы. Разумные частоты дискретизации в 6-10 раз больше ширины полосы пропускания или от 2-х до 3-х дискретных отсчетов за время регулирования. Относительно низкие частоты дискретизации могут использоваться при управлении, так как динамические характеристики многих реальных объектов невелики и их постоянные времени обычно больше времени регулирования замкнутой системы.

Квантование сигналов по уровню представляет собой процесс выделения из точно измеренного значения сигнала x(t) дискретного уровня х(nТ), где Т – период дискретизации. Этот процесс можно представить как прохождение непрерывного импульса через элемент с многоступенчатой характеристикой, т.е.

через m-разрядный АЦП. Количество ступеней определяется соотношением 2m-1 и является количеством уровней квантования . Величина шага квантования h определяется соотношением

.

Максимальное значение абсолютной погрешности процесса квантования по уровню принимает значение h.

Нелинейность АЦП, действие которого основано на дискретизации по времени и квантовании по уровню, оказывает существенное влияние на динамические свойства систем. В некоторых случаях наблюдается возникновение периодических режимов и автоколебаний.

Добавить комментарий

Закрыть меню