Балансовая модель Леонтьева

Модель Леонтьева.

Лекция №3

Применение матриц в задачах межотраслевого баланса.

Основные понятия темы:

1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Матрицы коэффициентов прямых и полных затрат, их экономический смысл. Уравнение зависимости между валовой и конечной продукцией.

2. Модель равновесных цен.

Модель Леонтьева.

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Связь между отраслями отражается в таблице межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию.

Продукция каждой отрасли идет на:

1) внутрипроизводственное потребление

( используется в качестве сырья, полуфабрикатов и средств производства в других отраслях, в том числе и в данной);

2) внепроизводственное потребление (конечный продукт Y – используется для накопления и возмещения основных фондов, прироста запасов, на личное потребление и обслуживание населения, оборону, экспорт и т.д.).

Рассмотрим математическую модель (ММ) межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве в стоимостном выражении за один отчетный период времени (например, год).

Потребляющие отрасли 1 2 … n Конечная продукция Валовая продукция
Производящие отрасли . . . n x11x12 … x1nx21x22 … x2n … … … … 1-й квадрант xn1xn2 … xnn Y1Y2 … 2-й квадрант Yn X1X2 … Xn
Оплата труда Чистый доход Vm V1 V2 … Vn 3-й квадрант m1 m2 … mn Vкон 4-й квадрант mкон
Валовая продукция X X1 X2 … Xn X

Введем следующие обозначения:

Xi – общий (валовой) объем продукций i-ой отрасли (i = 1,2,…,n)

i- номер любой производящей отрасли; j- номер любой потребляющей отрасли.

xij — стоимость части продукции (средств производства), произведенной в i-й отрасли и потребляемой в качестве материальных затрат в j-й отрасли для производства ее валовой продукции (i,j=1,2,…,n).

Yi –затраты продукции i-ой отрасли вне сферы материального производства, т.е. для целей конечного потребления (удовлетворение спроса населения, накопление, экспорт, военные нужды) для непроизводственного потребления.

В столбцах межотраслевого баланса отражается структура материальных затрат и чистой продукции каждой отрасли.

Так первый столбец x11, x12, …, x1n характеризует структуру материальных затрат 1-й отрасли за отчетный год. Элемент x11 показывает стоимость продукции 1-й отрасли для собственных нужд, x21 отражает затраты на продукцию 2-й отрасли для нужд 1-й отрасли. Кроме материальных затрат, в балансе отражена чистая продукция отраслей. Так, чистая продукция 1-й отрасли характеризуется суммой оплаты труда V1 и чистого дохода (прибыли) m1. Сумма материальных затрат и чистой продукции равна валовой продукции отрасли .

Можно записать систему уравнений по столбцам:

В строках межотраслевого баланса содержатся данные о распределении годового объема продукции каждой отрасли материального производства.

Т.к. валовой объем продукции любой i — ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то по данным строк можно составить следующую систему уравнений

Уравнения (*) называются соотношениями баланса.

В схеме баланса выделяют четыре части, которые называются квадрантами балансами.

В 1-м квадранте содержатся межотраслевые потоки средств производства. По форме он представляет собой квадратную матрицу.

Данные 1-го квадранта играют важную роль в анализе структуры материальных затрат отраслей.

Во 2-м квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, т.е. продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования – на потребление и накопление.

Таким образом, данные 2-го квадранта характеризуют отраслевую материальную структуру национального дохода.

Показатели 3-го квадранта также характеризуют национальный доход со стороны его стоимостного состава как сумму оплаты труда и чистого дохода всех отраслей материального производства.

4-й квадрант отражает конечное распределение и использование национального дохода.

Введем коэффициенты прямых затрат

показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j -ой отрасли. Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

,

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношение баланса (*) примут вид:

Обозначим

,

Где X- вектор валового продукта, Y- вектор конечного продукта, A- матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица). Все элементы матрицы A неотрицательны и .

Тогда систему (*) можно записать в матричном виде:

(3.1)

Уравнение (3.1)представляет собой систему балансовых уравнений, описывающую экономико-математическую модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева).

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (3.1) в виде:

(E-A)X=Y , (3.2)

где .

Матрица (E-A) называется матрицей Леонтьева.

Если матрица (E-A) невырожденная, т.е. , то по формуле матричного метода (для системы )

Получаем уравнение, которое выражает зависимость валовой продукции каждой отрасли от конечной продукции всех отраслей.

Обозначим , а ее элементы через dij, тогда

Матрица называется матрицей коэффициентов полных затрат.

Элементы dij (i=1,…,n; j=1,…,n) называются коэффициентами полных материальных затрат. Они включают в себя как прямые, так и косвенные затраты продукции отрасли i на единицу продукции отрасли j.

Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в продукт не прямо, а через другие средства производства.

Матрица коэффициентов косвенных затрат:

Коэффициенты полных затрат можно использовать и при планировании на следующий отчетный период. Например, если конечную продукцию j-й отрасли увеличить на 1 единицу, то при этом валовый выпуск всех отраслей изменится соответственно на величины d1j, d2j, …, dnj, которые являются элементами j–го столбца матрицы коэффициентов полных затрат . Положив j=1,2,…,n, это утверждение можно распространить на все отрасли.

Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (3.2). В этом случае и модель Леонтьева продуктивна.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, т.е. матрица А продуктивна, если и , и существует номер j такой, что .

В таблицу межотраслевого баланса, кроме производственных затрат можно включить затраты труда, капиталовложений и т.д. Они заносятся в таблицу как (n+1)-я, (n+2)-я,… дополнительные строки. Тогда xn+1,j выражают дополнительные затраты труда в j–ю отрасль, а xn+2,j (j=1,2,…,n) –затраты капиталовложений.

Введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда и капиталовложений .

Дописав эти коэффициенты в виде дополнительных строк в матрицу A, получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат :

При решении балансовых уравнений используется лишь основная часть матрицы (матрица A). При расчетах же затрат труда и капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие и дополнительные строки.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства единицы конечного продукта j- ой отрасли, равны:

Эти величины называются коэффициентами полных затрат труда.

Суммарные затраты капиталовложений, необходимые для производства единицы конечного продукта j- ой отрасли, равны:

Эти величины называются коэффициентами полных затрат капиталовложений.

Дополнив матрицу строками dn+1,j, dn+2,j, получим расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

Пользуясь этой матрицей, можно рассчитать при любом заданном ассортименте конечной продукции Y не только необходимый валовый выпуск продукции X, но и необходимые затраты труда Xn+1, капиталовложений Xn+2:

,

т.е. суммарное количество затрат труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения конечной продукции Y=(Y1,Y2,…,Yn):

Пример. Дан межотраслевой баланс межотраслевой модели хозяйства

№ отрасли потребления Конечный продукт Валовый продукт
№ отрасли производства

Определить:

1) технологическую матрицу;

2) матрицу коэффициентов полных затрат;

3) матрицу коэффициентов косвенных затрат;

4) определить валовый выпуск на новый ассортимент конечной продукции .

5) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;

Решение.

1)Находим коэффициенты прямых затрат:

Матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы .

2) Найдем матрицу полных затрат.

Вычислим

Обозначим E-A=D и вычислим алгебраические дополнения матрицы D.

Присоединенная матрица:

По формуле нахождения обратной матрицы:

-матрица коэффициентов полных затрат.

3) матрица коэффициентов косвенных затрат:

4) Найдем валовый выпуск на новый ассортимент конечной продукции по формуле: ,

т.е. валовой выпуск первой отрасли на новый ассортимент конечной продукции 439,112 условных единиц, второй отрасли 253,488 условных единиц, третьей отрасли 297,886 условных единиц.

5. Экономический анализ

Столбец с номером j матрицы коэффициентов полных затрат означает какой необходим ассортимент (в валовом исчислении) производства продукции различных отраслей для производства одной единицы конечного продукта j-ой отрасли.

Первый столбец означает, что для того, чтобы получить для потребления одну единицу продукции предприятия 1-ой отрасли нужно произвести 1,395 единиц продукции 1-ой отрасли, 0,233 единиц продукции 2-ой отрасли, 0,465 единиц продукции 3-ей отрасли.

Второй столбец означает, что для того, чтобы получить для потребления одну единицу продукции предприятия 2-ой отрасли нужно произвести 0,613 единиц продукции 1-ой отрасли; 1,163 единиц продукции 2-ой отрасли; 0,507 единиц продукции 3-ей отрасли.

Третий столбец означает, что для того, чтобы получить для потребления одну единицу продукции предприятия 3-ой отрасли нужно произвести 0,973 единиц продукции 1-ой отрасли, 0,465 единиц продукции 2-ой отрасли, 1,839 единиц продукции 3-ей отрасли.

Справочный материал.

Моделью Леонтьева многоотраслевой экономики или уравнением линейного межотраслевого баланса называется матричное уравнение , где – вектор валового выпуска, – матрица прямых затрат, – вектор конечного продукта; – общий (валовой) объём продукции i-й отрасли; , – объём продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью в процессе производства; – объём конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления; .

Все величины имеют стоимостное выражение.

Модель Леонтьева называется продуктивной, если продуктивна матрица . Матрица с неотрицательными элементами называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными элементами существует вектор с неотрицательными элементами.

Критерий продуктивности матрицы . Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причём хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, то есть , и существует такой номер j, что .

Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора , который при известной матрице обеспечивает заданный вектор . Вектор можно найти методом обратной матрицы по формуле: .

Пример. Дана матрица прямых затрат . Найти вектор валовой продукции , обеспечивающий выпуск конечной продукции .

Решение.

Проверим критерий продуктивности.

1) Элементы матрицы неотрицательны.

2) Сумма элементов первого столбца:

,

3) сумма элементов второго столбца:

Критерий продуктивности выполняется, поэтому для вектора можно найти вектор .

Найдём матрицу :

Найдём матрицу, обратную для :

1) Вычислим определитель:

2) Вычислим алгебраические дополнения:

, , , .

3) Запишем обратную матрицу:

Тогда вектор валовой продукции:

Ответ: общий объём выпуска продукции первой отрасли должен составлять 630 ден. ед., второй – 490 ден. ед.

Задание 14. Дана матрица прямых затрат . Найти вектор валовой продукции Х, обеспечивающий выпуск конечной продукции .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

Модель межотраслевого баланса Леонтьева

Задача межотраслевого баланса сводится к решению системы балансовых уравнений (1) n-го порядка по определению неизвестных Xi(i = 1,…,n). Казалось бы, задача должна иметь единственное решение. В действительности, помимо одноиндексных неизвестных объемов продукции по каждой отрасли Xiнеизвестны и все двухиндексные переменные Xij, характеризующие потоки продукции из одной отрасли в другую. Поэтому число неизвестных (п+п2) больше числа уравнений и задача имеет бесконечное множество решений.

Выход из этого положения был предложен в 1930г. американским экономистом В.В. Леонтьевым на основании изучения структуры экономики США. Балансовая модель Леонтьева базируется на следующих допущениях:

а) рассматриваемые отрасли, на которые разбит производственный сектор страны, считаются чистыми. Термин «чистая отрасль» означает, что продукция каждой из отраслей предполагается однородной, т.е. отрасль выпускает продукт только одного типа и разные отрасли выпускают разные продукты;

б) рассматривается статическая, неизменная за некоторый промежуток времени сложившаяся технология производства. Этот промежуток времени может быть равен одному календарному периоду (скажем, году);

в) имеет место прямо пропорциональная, т.е. линейная зависимость между потоками продукции из одной отрасли в другую Xijи объемами продукции Xi, выпускаемыми отраслями:

(5.2)

где аij– коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами прямых затрат (аij≥ 0).

Зависимость (5.2) следует из предложения В.В. Леонтьева считать структуру затрат в каждой отрасли неизменной. Иными словами, характеризующие структуру затрат отношения аij, постоянны:

(5.3)

Коэффициенты прямых затрат как безразмерные величины имеют двоякий экономический смысл. Если балансовая модель разрабатывается в натуральных из­мерителях, то величина аijхарактеризует количество единиц продукции i-й отрасли (или i-гo продукта), необходимое для изготовления единицы j-го продукта. При записи межотраслевого баланса в стоимостном выражении величина аij– доля стоимости продукции i-той отрасли в стоимости единицы продукции j-той отрасли. Например, если бы первой отраслью была угольная промышленность (i = 1), а второй – производство электроэнергии (j = 2), то а12выражает долю затрат каменного угля, израсходованного на производство электроэнергии, к общей выработке электроэнер­гии; а21– долю затрат электроэнергии на производство каменного угля в общей выработке каменного угля.

Допущение (5.3) не вполне строго. Однако отличие коэффициентов прямых затрат в крупномасштабных моделях настолько мало, что без ущерба для точности модели их можно считать постоянными.

Это допущение делает систему (5.1) легко решаемой, так как от двух групп неизвестных Xijи Xiпереходим к одной группе неизвестных – Xi. Действительно, подставляя (5.2) в уравнения (5.1), получим систему:

(5.4)

или короче

(5.5)

Решение этой системы п-гопорядка относительно п неизвестных Xiзатруднений не вызывает.

Система уравнений (5.4) или (5.5) называется системой уравнений межотраслевого баланса, или экономико-математической моделью межотраслевого баланса производства и распределения продукции (моделью Леонтьева).

Систему уравнений (5.4) или (5.5) удобно представить в компактной матричной форме. Это дает возможность легко получить ее решение в общем виде.

Введем следующие обозначения:

а) X – матрица-столбец переменных (Х1,Х2,…,Хп) порядка (n x 1)

б) А – матрица коэффициентов прямых затратпорядка (п х п)

в) Е – единичная матрица порядка (п х п)

г) Y – матрица-столбец свободных членов (Y1,Y2,…,Yn) порядка (n x 1)

Тогда систему уравнений (4) легко записать в матричной форме:

Предположим, что рассматривается N отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции, произведенной отраслью, идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, за год). Введем следующие обозначения:

Xi – общий (валовой) объем продукции I-ой отрасли (I = 1, 2,… N);

Xij – объем продукции I-ой отрасли, потребляемой J-ой отраслью в процессе производства (I,J = 1, 2,… N);

Yi –объем продукции I-ой отрасли для непроизводственного (личного и общественного) потребления (I = 1, 2,… N).

Указанные величины можно свести в таблицу:

Производственное
потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

X11 X12 …… X1N

X21 X22 …… X2N

Xn1 Xn2 …… Xnn

Так как валовой объем продукции любой I-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой всеми N отраслями, и конечного продукта, то должно выполняться соотношение

(I = 1, 2,… N),

Или, в сокращенной форме

(I = 1, 2,… N). (3.1)

Уравнения (3.1) (их N штук) называются Соотношениями межотраслевого баланса. Единицы измерения содержащихся в уравнениях (3.1) величин могут быть натуральными и для каждого уравнения свои (кубометры, тонны, штуки и т. п.). Но они могут быть и универсальными (стоимостными). В зависимости от этого различают Натуральный И Стоимостной межотраслевые балансы. Для определенности рассмотрим далее стоимостной баланс (все величины, входящие в уравнения (3.1), выражены в рублях).

Введем Коэффициенты прямых затрат

(I = 1, 2,… N), (3.2)

Показывающие затраты I-ой отрасли на производство единицы продукции J-ой отрасли. То есть Aij – стоимость продукции отрасли I, вложенной в 1 рубль продукции отрасли J. Так как эти коэффициенты зависят в основном от существующей технологии производства в производящих отраслях, а эта технология меняется достаточно медленно и за рассматриваемый относительно короткий период времени может считаться неизменной, то их можно считать постоянными. Это означает линейную зависимость объема Xij продукции I-ой отрасли, потребляемой J-ой отраслью, от валового объема XjJ-ой отрасли:

(I = 1, 2,… N).

(3.3)

Построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название Линейной, или модели Леонтьева (американский экономист русского происхождения, лауреат Нобелевской премии по экономике).

С учетом линейных соотношений (3.3) равнения межотраслевого баланса (3.1) примут вид:

(I = 1, 2,… N). (3.4)

Введем обозначения:

; ; , (3.5)

Где А – так называемая матрица прямых затрат, X – матрица-столбец валового выпуска, Y – матрица-столбец конечного продукта. Тогда систему (3.4) N линейных уравнений с N неизвестными (X1; X2; …Xn) можно записать в матричном виде:

(3.6)

Система (3.6) представляет собой математическую формулировку модели Леонтьева межотраслевого баланса в матричной форме. А задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такой матрицы-столбца валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор-столбец конечного продукта Y.

В соответствии с экономическим смыслом задачи искомые элементы столбца X должны быть неотрицательны при любых неотрицательных значениях YI и AIj (I = 1, 2,… N). В таком случае модель Леонтьева называется Продуктивной.

Существует несколько различных по форме Критериев продуктивности модели Леонтьева. Один из них формулируется так (доказательство опускаем): если максимум сумм элементов столбцов матрицы A прямых затрат не превосходит единицы, то есть если

(3.7)

И существует номер J такой, что эта сумма строго меньше единицы

, (3.8)

То модель Леонтьева (3.6) (или, что одно и то же, (3.4)) является продуктивной. Отметим, что условия (3.7) и (3.8) естественны, так как они имеют наглядный экономический смысл. Действительно,

– (3.9)

– это доля, которую составляет суммарная стоимость продукции всех отраслей, вложенная в продукцию J-ой отрасли, по отношению к общей стоимости продукции J-ой отрасли. И эта доля для любой отрасли, естественно, не должна превосходить единицу. А точнее, для рентабельной отрасли должна быть меньше единицы, ибо общая стоимость Xj продукции J-ой отрасли включает в себя и другие затраты – стоимость рабочей силы, амортизацию основных фондов и т. д., а также прибыль, получаемую отраслью от продажи продукции.

Пример 1. В таблице ниже содержатся данные баланса промышленности и сельского хозяйства в некотором регионе за некоторый период (в миллиардах рублей):

Отрасль
производства

Производственное
потребление

Конечный
продукт

Валовой
выпуск

Промышленность

Сельское
хозяйство

Промышленность

0,7

2,1

7,2

Сельское

Хозяйство

1,2

1,5

12,3

Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт промышленности увеличится вдвое, а сельского хозяйства останется на прежнем уровне.

Решение. Согласно таблицы имеем:

X11 = 0,7;

X12 = 2,1;

X21 = 1,2;

X22 = 1,5;

X1 = 10;

X2 = 15;

Y1 = 7,2;

Y2 = 12,3.

По формуле (3.2) находим коэффициенты прямых затрат:

; ; ;

Таким образом, матрица А Прямых затрат

Имеет неотрицательные элементы и, очевидно, удовлетворяет критерию продуктивности, выражаемому неравенствами (3.7) и (3.8), ибо

; .

По условию задачи, в измененных условиях производства конечный продукт промышленности Y1 должен составить млрд. рублей, а конечный продукт Y2 сельского хозяйства должен остаться неизменным и составить 12,3 млрд. рублей. Поэтому для определения соответствующих валовых объемов X1 и X2 этих отраслей получаем, согласно (3.4), следующую систему линейных уравнений 2-го порядка:

Ее главный определитель

Значит, система имеет единственное решение. Вычисляя еще два определителя неизвестных

И используя формулы Крамера (2.5), получим:

; .

Межотраслевой баланс

Модель межотраслевого баланса:
где – матрица коэффициентов прямых материальных затрат; – уровень спроса на конечную продукцию, равновесный выпуск отраслей .

С помощью сервиса в онлайн режиме можно:

  • найти коэффициенты полных материальных затрат, определить вектор валовой продукции;
  • составить межотраслевой баланс, составить схему межотраслевого баланса труда;
  • проверить продуктивность матрицы.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Система уравнений называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (МОБ) или моделью «затраты — выпуск». C помощью нее можно выполнить следующие расчеты:

  1. подставив в модель объемы валовой продукции каждой отрасли Xi, можно определить объем конечной продукции отрасли Yj:
  2. задав величины конечной продукции всех отраслей Yj, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли Xi:
  3. установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти объемы конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Здесь A – матрица прямых затрат, коэффициенты которой, aij показывают затраты i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли. Введем обозначение B = (E — A)-1. Матрица B называется матрицей полных материальных затрат, коэффициенты которой, bij показывают полный объем продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы продукции j-й отрасли. С учетом линейности соотношений эффект распространения спроса ΔX, вызванный изменением конечного спроса на величину ΔY рассчитывается как: ΔX = B·ΔY
Через C=A-B обозначают матрицу косвенных затрат.

Пример №1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции .

Пример №2. Дан межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства:

№ отрасли потребления 1 2 3 Конечный продукт Валовый продукт Y’
№ отрасли 1 20 20 60 100 200 150
отрасли 2 20 40 60 80 200 100
производства 3 20 0 10 70 100 100

Определить:
1) технологическую матрицу;
2) матрицу коэффициентов полных затрат;
3) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;
4) определить валовый выпуск X’ на новый ассортимент конечной продукции Y’;

Решение.
Находим валовой объем продукции xi;
x1 = 20 + 20 + 60 + 100 = 200
x2 = 20 + 40 + 60 + 80 = 200
x3 = 20 + 0 + 10 + 70 = 100

Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой выпуск
Производство 20 20 60 100 200
20 40 60 80 200
20 0 10 70 100

По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат:
a11 = 20/200 = 0.1; a12 = 20/200 = 0.1; a13 = 60/100 = 0.6; a21 = 20/200 = 0.1; a22 = 40/200 = 0.2; a23 = 60/100 = 0.6; a31 = 20/200 = 0.1; a32 = 0/200 = 0; a33 = 10/100 = 0.1;

0.1 0.1 0.6
0.1 0.2 0.6
0.1 0 0.1

Определим матрицу коэффициентов полных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.
а) Находим матрицу (E-A):

(E-A) =
0,9 -0,1 -0,6
-0,1 0,8 -0,6
-0,1 0 0,9

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:

0,9 -0,1 -0,6
-0,1 0,8 -0,6
-0,1 0 0,9

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

X’ = (B-1*Y’) =
1,23 0,15 0,92
0,26 1,28 1,03
0,14 0,0171 1,21
* =

Пример №3. В модели межотраслевого баланса

Производство Потребление Конечная продукция Валовая продукция
1 2 3
1 10 5 15 70 100
2 20
3 30
Оплата труда 30
Прибыль D D

прибыль равна:
= Валовая продукция – Затраты на производство – Оплата труда = 100 – (10+20+30) – 30 = 10.

Для этого выберите размерность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. примеры решений). Для проверки решения автоматически генерируется шаблон в Excel.

Добавить комментарий

Закрыть меню