Автокорреляционная функция

Скоростное вычислениеправить

Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление
Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения 25 января 2016

Часто приходится вычислять автокорреляционную функцию для временного ряда x i Вычисление «в лоб» работает за O T 2 Однако есть способ сделать это за O T log ⁡ T

Суть этого способа состоит в следующем Можно сделать некое обратное взаимно однозначное преобразование данных, называемое преобразованием Фурье, которое поставит им во взаимно однозначное соответствие набор данных в другом пространстве, называемом пространством частот У операций над данными в нашем обычном пространстве, таких как сложение, умножение и, главное, автокорреляция, есть взаимно-однозначные соответствия в пространстве частот Фурье Вместо того, чтобы вычислять автокорреляцию «в лоб» на наших исходных данных, мы произведем соответствующую ей операцию над соответствующими данными в пространстве частот Фурье-спектра, что делается за линейное время OT — автокорреляции в пространстве частот соответствует простое умножение После этого мы по полученным данным восстановим соответствующие им в обычном пространстве Переход из обычного пространства в пространство частот и обратно делается с помощью быстрого преобразования Фурье за O T log ⁡ T , вычисление аналога автокорреляции в пространстве частот — за OT Таким образом, мы получили выигрыш по времени при вычислениях

Подготовка Вычитаем из ряда среднее арифметическое Преобразуем в комплексные числа Дополняем нулями до 2 k Затем дописываем в конец ещё 2 k нулей

Вычисление Автокорреляционная функция вычисляется с помощью быстрого преобразования Фурье и прямо пропорциональна первым n элементам последовательности

Ψ τ ∼ Re ⁡ fft − 1 ⁡ | fft ⁡ x → | 2 \operatorname ^\left\left|\operatorname \right|^\right

Квадрат комплексного модуля берётся поэлементно: | a → | 2 = \right|^=\left\ ^a_+\operatorname ^a_\right\ Если нет погрешностей вычисления, мнимая часть будет равна нулю Коэффициент пропорциональности определяется из требования Ψ 0 = 1

Дана автокорреляционная функция временного ряда

Верным будет утверждение, что ряд …

имеет выраженную сезонную компоненту с лагом 4

содержит только тенденцию, и не содержит сезонной компоненты

имеет выраженную сезонную компоненту с лагом 6

не имеет ни тенденции, ни сезонной компоненты, имеет только случайную компоненту

Решение:

Высокое значение коэффициентов автокорреляции четвертого и кратного ему восьмого уровней позволяет сделать вывод, что ряд имеет выраженную сезонную компоненты, периодичность которой равна четырем.
Низкое значение коэффициента автокорреляции первого порядка позволяет предположить, что ряд не содержит трендовой компоненты.

3. Автокорреляционной функцией временного ряда называется последовательность коэффициентов автокорреляции …

первого, второго, третьего и последующих порядков

между трендовой, сезонной и случайной компонентами

между несколькими временными рядами

факторов, формирующих уровень ряда

Решение:

Автокорреляционной функцией временного ряда называется последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и последующих порядков.

4. Значение коэффициента автокорреляции второго порядка равно (-0,6), следовательно, ряд содержит …

тенденцию

убывающую тенденцию

затухающую сезонную волну периодичностью 2 момента времени

полиномиальную тенденцию с точкой минимума

Решение:

Структура временного ряда определяется по значениям коэффициента автокорреляции, рассчитанным для разных порядков. Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту связи между уровнями исходного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на значение порядка коэффициента автокорреляции. Если временной ряд содержит тенденцию, то наиболее высокое (максимальное или чуть меньше, чем максимальное) значение наблюдается у коэффициента автокорреляции первого и/или второго порядка. Однако, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о направленности тенденции.

Поэтому вариант «ряд содержит убывающую тенденцию» является ошибочным, так как ряд при данном значении коэффициента автокорреляции может содержать и положительную тенденцию. Правильный вариант – «ряд содержит тенденцию».

5. Автокорреляцией уровней ряда называется корреляционная зависимость между …

последовательными уровнями ряда

уровнями двух рядов

компонентами, образующими уровни ряда

факторами, формирующими уровень ряда

Решение:

Автокорреляцией уровней ряда называется корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда.

Тема 19: Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов

1. Уровень временного ряда (yt) формируется под воздействием различных факторов – компонент: Т (тенденция), S (циклические и/или сезонные колебания), Е (случайные факторы). Для аддитивной модели временного ряда для уровня y3 получено уравнение тренда T = 3,14 + 2,07t. Известны значения компонент: S3 = 1,6; E3 = –0,3. Тогда значение уровня временного ряда y3 будет равно …

10,65

9,35

1,3

6,51

Решение:

Аддитивная модель временного ряда записывается в виде выражения и предполагает, что сумма компонент ряда T, S и Е равна значению уровня ряда yt. Расчет компоненты Т осуществим по формуле T = 3,14 + 2,07t , где t = 3, так как необходимо рассчитать значение уровня y3.
Получаем: y3 = 3,14 + 2,07 * 3 +1,6 + (–0,3) = 10,65.

2. Уровень временного ряда (yt) формируется под воздействием различных факторов – компонент: Т (тенденция), S (циклические и/или сезонные колебания), Е (случайные факторы). Для мультипликативной модели временного ряда, содержащего периодические колебания в 4 момента, получены значения сезонных компонент: S1 = 2,087; S2 = 0,632; S3 = 0,931; S4 = 3,256. Известны значения компонент: T5 = 20,6 и E5 = 0,4. Рассчитайте значение уровня временного ряда y5.

17,2

23,1

0,83

Решение:

Аддитивная модель временного ряда записывается в виде выражения и предполагает, что произведение компонент ряда T, S и Е равно значению уровня ряда yt. Значение компоненты S определим из имеющихся, так как необходимо рассчитать значение уровня y5, периодичность колебаний составляет 4 момента времени, тогда для t = 5 значение компоненты S5 = S1 = 2,087. Получаем:

3. Для аддитивной модели временного ряда Y = T + S + E лаг модели равен 4 и известны значения трех скорректированных сезонных компонент: , , . равна …

Решение:

Для аддитивной модели временного ряда Y = T + S + E сумма скорректированных сезонных компонент равна нулю. .
Значит,

4. Для мультипликативной модели временного ряда Y = T · S · E сумма скорректированных сезонных компонент равна …

лагу

половине лага

Решение:

Для мультипликативной модели временного ряда Y = T · S · E сумма скорректированных сезонных компонент равна лагу.

Тема 20: Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация

1. Известно, что дисперсия временного ряда Y увеличивается с течением времени. Значит, ряд Y …

нестационарным

стационарным

автокорреляционным

сбалансированным

Решение:

Временной ряд называется стационарным, если он является конкретной реализацией стационарного стохастического процесса. Под стационарным в слабом смысле понимается стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение. Автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными. Если дисперсия ряда увеличивается, то есть она не постоянна, то ряд будет нестационарным.
Правильный ответ: временной ряд Y – нестационарный.

2. Известно, что временной ряд Y порожден случайным процессом, который по своим характеристикам является «белым шумом». Значит, ряд Y …

стационарный

нестационарный

автокорреляционный

сбалансированный

Решение:

По своим характеристикам временной ряд, образованный случайным процессом «белый шум», является стационарным. Математическое ожидание временного ряда, образованного случайным процессом «белый шум» постоянно, дисперсия постоянна, автоковариация зависит только от длины лага. Правильный ответ: временной ряд Y – стационарный.

3. Известно, что временной ряд Y характеризуется устойчивой тенденцией, то есть его среднее значение меняется. Значит, ряд Y, скорее всего,является …

нестационарным

стационарным

автокорреляционным

сбалансированным

Решение:

Временной ряд называется стационарным, если он является конкретной реализацией стационарного стохастического процесса. Под стационарным в слабом смысле понимается стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение. Автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными. Если среднее значения ряда меняется, то ряд будет нестационарным. Правильный ответ: временной ряд Y – нестационарный.

4. Для временного ряда известны характеристики: – среднее и – дисперсия. Если временной ряд является стационарным, то …

Решение:

При моделировании временных рядов рассматривается отдельный класс – стационарные временные ряды. Основные характеристики стационарного временного ряда состоят в том, что среднее и дисперсия стохастического процесса, сгенерировавшего конкретный временной, не зависят от времени t, то есть ; .

Тема 21: Общие понятия о системах уравнений, используемых в эконометрике

Автокорреляционная функция (АКФ)

АКФ ФМ сигналов имеет вид типичный для всех типов ШПС. Нормированная АКФ состоит из центрального (основного) типа с амплитудой 1, размещенного на интервале (-t, t) и боковых (фоновых) максимумов, распределенных на интервале (-T, t) и (t, T).

Амплитуды боковых типов принимают различные значения, но у сигналов с “хорошей” корреляцией они малы, т.е. существенно меньше амплитуды центрального пика. Отношение амплитуды центрального пика (в данном случае 1) к максимальной амплитуде боковых максимумов называют коэффициентом подавления К. Для произвольных ШПС с базой В

К » 1/

Для ФМ ШПС К»1 . Пример АКФ ШПС дан на рисунке 9. Величина К существенно зависит от вида кодовой последовательности А. При правильном выборе закона формирования А можно добиться максимального подавления, а в ряде случаев – равенства амплитуд всех боковых максимумов.

Сигналы Баркера

Кодовая последовательность сигнала Баркера состоит из символов ±1 и характеризуется нормированной АКФ вида:

(18)

где l = 0, 1, … (N-1)/2.

Знак в последней строчке зависит от величины N. На рисунках 8-9 показаны ФМ сигнал, его комплексная огибающая и АКФ семизначного кода Баркера.

Из (18) следует, что одна из особенностей сигнала Баркера — равенство амплитуд всех (N-1) боковых максимумов АКФ, и все они имеют минимально возможный уровень, не превышающий 1/N. В таблице 1 приведены известные кодовые последовательности Баркера и их уровни боковых типов АКФ. Кодовые последовательности, обладающие свойствами (18), для N > 13 не найдены.

Рисунок 9 — АКФ семизначного кода Баркера

Таблица 1 Кодовые последовательности Баркера

Код Кодовая последовательность Уровень боковых лепестков
1 1 -1 -1/3
1 1 -1 1 1/4
1 1 1 -1 1 1/5
1 1 1 -1 -1 1 –1 -1/7
1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1/11
1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1/13

Формирование и обработка сигналов БаркераФормирование сигналов Баркера может осуществляться несколькими способами, так же, как и произвольного ФМ сигнала. Поскольку сигналы Баркера были первыми ПШС, причем с наилучшими АКФ, рассмотрим кратко один из возможных способов формирования и обработки сигналов Баркера.

На рисунке 10 изображен генератор сигнала Баркера с N=7.Генератор синхроимпульсов (ГСИ) формирует узкие прямоугольные синхроимпульсы, период следования которых равен длительности сигнала Баркера Т=7τ0, а τ0 — длительность одиночного (единичного) прямоугольного импульса. Генератор синхроимпульсов запускает генератор одиночных импульсов (ГОИ), который в свою очередь формирует одиночные прямоугольные импульсы длительностью τ0 и периодом Т.Одиночные прямоугольные импульсы поступают на вход многоотводной линии задержки (МЛЗ), которая имеет N-1=6 секций с отводами через интервалы времени, равные τ0. Число отводов, включая начало линии, равно 7. Так как кодовая последовательность Баркера с N =7 имеет вид 111-1 -11 -1, то импульсы с первого, второго, третьего и шестого отводов (счет ведется от начала линии) поступают на вход сумматора ( + ) непосредственно, а импульсы с четвертого, пятого и седьмого отводов поступают на вход сумматора через инверторы (ИН), которые превращают положительные одиночные импульсы в отрицательные, т. е. осуществляют изменение фазы на π. Поэтому инверторы называются также фазовращателями. На выходе сумматора имеет место видеосигнал Баркера (рисунок 8б), который затем поступает на один вход балансного модулятора (БМ), на другой вход которого подается радиочастотное колебание на несущей частоте, формируемое генератором несущей частоты (ГНЧ). Балансный модулятор осуществляет фазовую манипуляцию радиочастотного колебания ГНЧ в соответствии с кодовой последовательностью Баркера: видеоимпульсу с амплитудой 1 соответствует радиоимпульс с фазой 0, а видеоимпульсу с амплитудой -1 — радиоимпульс с фазой π. Таким образом, на выходе балансного модулятора имеет место радиочастотный сигнал Баркера (рисунок 8а).

Рисунок 10 – Генератор сигнала Баркера с N = 7

Оптимальная обработка сигналов Баркера так же, как и других ШПС, производится либо с помощью согласованных фильтров, либо с помощью корреляторов. Возможно несколько способов построения согласованных фильтров и корреляторов, отличающихся друг от друга в техническом выполнении, но обеспечивающих одно и то же максимальное отношение сигнал-помеха на выходе. На рисунке 11 приведена схема согласованного фильтра для сигнала Баркера с N = 7.Свыхода усилителя промежуточной частоты приемника сигнал поступает на согласованный фильтр одиночного импульса (СФОИ), который производит оптимальную обработку (фильтрацию) одиночного прямоугольного радиоимпульса с центральной частотой, равной промежуточной частоте приемника. На выходе СФОИ радиоимпульс имеет треугольную огибающую. Треугольные радиоимпульсы с длительностью по основанию 2 τ0 поступают на МЛЗ, которая имеет 6 секций и 7 отводов (включая начало линии).

Отводы следуют через τ0. Так как импульсная характеристика согласованного фильтра совпадает с зеркально отраженным сигналом, то кодовую импульсную характеристику фильтра для сигнала Баркера с N=7следует устанавливать в соответствии с последовательностью -11-1-1111. Поэтому радиоимпульсы со второго, пятого, шестого и седьмого отводов МЛЗ поступают в сумматор ( + ) непосредственно, а радиоимпульсы с первого, третьего и четвертого отводов — через инверторы (ИН), которые меняют фазу на π. На выходе сумматора имеет место АКФ сигнала Баркера, огибающая которой приведена рисунке 9.

Рисунок 11 – Согласованный фильтр сигнала Баркера с N = 7

1.9 М – последовательности

Среди фазоманипулированных сигналов особое значение занимают сигналы, кодовые последовательности которых являются последовательностями максимальной длины или М -последовательностями.

М – последовательности принадлежат к разряду двоичных линейных рекуррентных последовательностей и представляют собой набор N периодически повторяющихся двоичных символов. Причем каждый текущий символ dj образуется в результате сложения по модулю 2 некоторого числа m предыдущих символов, одни из которых умножаются на 1, а другие – на 0.

Для j-го символа имеем:

d j = S a i d j — i = a 1 d j -1 Å . . . Å a m d j –m (4)

i = 1

Где а1…аm – числа 0 или 1.

Технически генератор М-последовательности строится в виде регистра (последовательно включенных триггеров) с отводами, с цепью обратной связи и с сумматором по модулю 2. Пример такого генератора приведен на рисунке 12. Умножение на а1…аm в (4) означает просто наличие или отсутствие отвода, т.е. связи соответствующего триггера (разряда регистра) с сумматором. В m-разрядном регистре максимальный период равен: Nm – 1. Величина m называется памятью последовательности. Если отводы выбраны произвольно, то не всегда на выходе генератора будет наблюдаться последовательность максимальной длины. Правило выбора отводов, позволяющее получить последовательность с периодом Nm-1, предполагает найти неприводимые примитивные полиномы степени m с коэффициентами, равными 0 и 1. Не равные нулю коэффициенты в полиномах определяют номера отводов в регистре.

Так, при m=6 существует 3 примитивных многочлена:

а6 а5 а4 а3 а2 а1 а0

p1 ( x ) = x 6 + x + 1 1 0 0 0 0 1 1

p2 ( x ) = x 6 + x 5 + x 2 + x + 1 1 1 0 0 1 1 1

p3 ( x ) = x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1 1 1 0 1 1 0 1

На рисунке 12 реализован первый вариант.

Рисунок 12 ­­­- Генератор М-последовательности с периодом N = 26 – 1 = 63

Особенности автокорреляционной функции М-последовательности Наибольший интерес представляет нормированная автокорреляционная функция (АКФ). Различают два случая получения такой функции: в периодическом (ПАКФ) и апериодическом режимах. Периодическая АКФ имеет основной, равный единице, пик и ряд боковых выбросов, амплитуды которых 1/N. С ростом N ПАКФ приближается к идеальной, когда боковые пики становятся по сравнения с основным пренебрежимо малы.

Боковые пики АКФ в апериодическом режиме существенно больше боковых пиков ПАКФ. Среднеквадратичное значение боковых пиков (вычисленное через дисперсию) равно

Материал из MachineLearning.

(Перенаправлено с Автокорреляция)

Перейти к: навигация, поиск

Автокорреляционная функция — это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов.

Неформально автокорреляционная функция — это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.

Автокорреляция уровней временного ряда

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени – лаг). Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор позволит прямо на сайте бесплатно провести анализ уровней временного ряда yt на наличие автокорреляции.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка rt,t-1, если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка rt,t-2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный .
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (rt,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение rt,t-1, то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался rt,t-L, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом . Если ни один из (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

  • либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
  • либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Пример. В таблице приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период (усл.ед.), то есть временный ряд спрос. Найти коэффициенты автокорреляции для лагов r=1,2 и частный коэффициент автокорреляции.

Год, t 1 2 3 4 5 6 7 8
Спрос, y 213 171 291 309 317 362 351 361

Решение. Сдвигаем исходный ряд на один уровень. Получаем следующую таблицу:

yt yt — 1
213 171
171 291
291 309
309 317
317 362
362 351
351 361

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка.
Параметры уравнения авторегрессии первого порядка.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-1:
rt,t-2 = = =
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 t,t-10.3 t,t-10.5 t,t-10.7 t,t-10.9 t,t-1В нашем примере связь между рядами — высокая и прямая.
Частный коэффициент корреляции: Ф1 = r1
Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt yt — 2
213 291
171 309
291 317
309 362
317 351
362 361

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка.
Параметры уравнения авторегрессии второго порядка.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-2:
= = =

Частный коэффициент корреляции:

Лаг (порядок) rt,t-L Коррелограмма
1 0.73 ****
2 0.84 ****

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (rt,t-1 = 0.725 → 1). А также имеются периодические колебания с периодом, равным 2 (rt,t-2=0.84 → 1).

Инструкция. Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

Добавить комментарий

Закрыть меню