Аффинные преобразования на плоскости

Преобразования на плоскости и в пространстве

Формирование изображения и разнообразные действия с ним требуют от пользователя известной математической грамотности. Геометрические понятия, формулы и факты, относящиеся к плоскому и трехмерному случаям, играют в задачах компьютерной графики особую роль.

Принципы аналитической геометрии в соединении с постоянно расширяющимися возможностями вычислительной техники являются неиссякаемым источником существенных продвижений на пути развития компьютерной графики, ее эффективного использования в САПР.

Растровые и векторные изображения

Различают два вида изображений: растровые и векторные.
Растровое изображение состоит из множества точек – пикселей (от англ. pixel – PIcture ELement), каждый пиксель имеет определенный цвет. Чем плотнее расположены пиксели, чем меньше их размеры и чем большее количество цветов, тем выше качество картинки. Примеры растровых изображений: офсетная (газетная) печать, изображение на экране компьютера, сканированный рисунок. При хорошей разрешающей способности устройств графического вывода достигается очень высокое качество растровых изображений, но, к сожалению, работа с ними крайне неудобна, а при масштабировании качество теряется.
Векторное изображение в простейшем случае состоит не из точек, а из множества отрезков прямых, заданных координатами их концов.

Такое изображение легко масштабируется без потери качества и легко поддается обработке. Практически во всех графических пакетах, используемых в САПР, информация представляется в векторном виде.

Аффинные преобразования на плоскости

Допустим, на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке M ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (x, y) ее координат (рис. 1). Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, поставим в соответствие той же точке M другую пару чисел – (x*, y*).

Рис. 1

Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями:

(*)

где – произвольные числа, связанные неравенством:


В дальнейшем будем рассматривать формулы (*) как правило, согласно которому в заданной системе координат преобразуются точки плоскости.

В аффинных преобразованиях особую роль играют несколько важных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемые геометрические характеристики.

Рис. 2

А. Поворот вокруг начальной точки на угол j (рис. 2а) описывается формулами


Б. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей (рис. 2б) можно задать так:


В. Отражение относительно оси абсцисс (рис. 2в) задается при помощи формул


Г. Перенос (рис. 2г) обеспечивают соотношения

Как доказывается в курсе аналитической геометрии, любое преобразование вида (*) всегда можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) простейших преобразований вида А, Б, В и Г.
Для эффективного использования этих известных формул в задачах компьютерной графики более удобной является их матричная запись. Матрицы, для случаев А, Б и В легко строятся и имеют соответственно следующий вид:

Для решения задач весьма желательно охватить матричным подходом все четыре простейших преобразования (в том числе и перенос), а, значит, и общее аффинное преобразование. Этого можно достичь путем описания произвольной точки плоскости не двумя координатами, как это было сделано выше, а упорядоченной тройкой чисел.

Однородные координаты точки

Пусть M – произвольная точка плоскости с координатами x и y, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно неравных нулю чисел x1, x2, x3, связанными с заданными числами x и y следующими соотношениями:

При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке M(x, y) плоскости ставится в соответствие точка M*(x, y, 1) в пространстве (рис. 3).

При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование на плоскости. Сравнивая уравнение (*) и нижеследующее, матричное:

Рис. 3

,

нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, получаются обе формулы (*) и тождество 1=1. Таким образом, сравниваемые записи являются равносильными.

Аффинные преобразования в пространстве

Для выполнения пространственных построений, аналогично двумерной задаче, три координаты точки (x, y, z) заменяются четверкой чисел (x, y, z, 1). Это дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Математически все преобразования сводятся к перемножению матриц четвертого порядка. Например, матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол j имеет вид:

Виды проецирования

Изображение трехмерных объектов на картинной плоскости связано с еще одной геометрической операцией – проецированием при помощи пучка прямых.

В компьютерной графике применяется несколько различных видов проецирования. Наиболее часто используется параллельное и центральное проецирование.

Для получения проекций объекта на картинную плоскость необходимо провести через каждую его точку прямую из заданного проецирующего пучка и затем найти координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью изображения. В случае центрального проецирования все прямые исходят из одной точки – центра пучка. При параллельном проецировании считается, что центр пучка расположен в бесконечности (рис. 4). Математически операция проецирования также сводится к перемножению соответствующих матриц.

Рис. 4

Аффинные преобразования плоскости и их свойства. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Применение аффинных преобразований к решению задач

Отображение плоскости P в плоскость R — закон или правило, по которому каждой точке плоскости P сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости R. Обозначается f: P→R. Если нужно указать, что точке А на плоскости Р соответствует точка В на плоскости R, то напишем B=f(A), в этом случае В — образ точки А, точка А — прообраз точки В. Совсем не обязательно каждая точка плоскости R является образом какой-либо точки. Если для некоторого отображения плоскости P и R совпадают, то такое отображение называется преобразованием плоскости.

Отображение f: P→R называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости R имеет прообраз, и притом только один.

При выбранных системах координат на плоскостях P и R отображение сопоставляет паре чисел (x,y) пару чисел (x’,y’). Задать отображение при выбранных СК — всё равно что задать 2 функции, каждая из которых зависит от 2-х независимых переменных: x΄=φ(x,y), y΄=ψ(x,y).

Преобразование f плоскости Р называетсялинейным, если на Р существует такая декартова система координат, в которой f может быть записано формулами: x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2. Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным.

Для того, чтобы преобразование, задаваемое формулами x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2, было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы . Таким образом, аффинное преобразование определяется формулами x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2 при условии .

Геометрические свойства аффинных преобразований:

Рассмотрим на плоскости прямую с уравнением и найдем её образ при преобразовании f. (Образ прямой — множество образов её точек). Радиус-вектор образа М’ произвольной точки М можно вычислить так: = , где — постоянный вектор , а — радиус-вектор точки М. По свойствам линейных преобразований получаем . Так как f – аффинное преобразование, и то перейдет в вектор и уравнение является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой лежат на прямой. F определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую.

1.При аффинном преобразовании прямая линия переходит в прямую линию, отрезок переходит в отрезок, параллельные прямые переходят в параллельные.

2.При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.

Док-во: пусть отрезки АВ и CD параллельны. Это значит, что существует такое число λ, что . Образы векторов и связаны той же зависимостью . Отсюда следует, что .

Следствие. Если точка С делит отрезок АB в некотором отношении λ, то её образ C’ делит образ A’B’ отрезка АВ в том же отношении λ.

Свойства аффинного преобразования:

1.Образом параллельных прямых являются параллельные прямые

2. При аффинном преобразовании сохраняется отношение двух отрезков, расположенных на одной прямой AB/CD=A΄B΄/C΄D΄

3. При аффинном преобразовании сохраняется отношение параллельных отрезков

4.При аффинном преобразовании угол и отношение произвольных отрезков не сохраняются, так как любой треугольник можно перевести в любой другой. Поэтому высота и биссектриса треугольника преобразуются обычно в другие линии, медиана же переходит в медиану, так как середина отрезка переходит в середину.

5. При аффинном преобразовании параллелограмм переходит в параллелограмм, трапеция в трапецию.

Группа аффинных преобразований.

Теорема: Множество аффинных преобразований плоскости образуют группу.

Док-во: Пусть задано множество аффинных преобразований A={f1, f2,…fn} и композиция двух аффинных преобразований . , f – аффинное.

Композиция двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование, т.е.

операция замкнута на множестве А.

а) eA — нейтральный элемент. ;

б) преобразование, обратное к аффинному также есть аффинное преобразование.

в)

г) группа не является коммутативной т.к. есть примеры того, что два аффинных преобразования дают не коммутативную композицию. Например:

Добавить комментарий

Закрыть меню